设正数 x,y,z 满足 x+y+z=12，求 [x／(x+2)]^3+[y／(y+2)]^3+[z／(z+2)]^3 的最大值

nasaliu2012

若正數x,y,z滿足\(x+y+z=12\)，則\(^{ }\left( \frac{x}{x+2}\right)^3+\left( \frac{y}{y+2}\right)^3+\left( \frac{z}{z+2}\right)^3\)的最大值為_______  .

波斯猫猫

令F(x,y,z )= [x／(x+2)]^3+[y／(y+2)]^3+[z／(z+2)]^3+λ( x+y+z-12)

luyuanhong

波斯猫猫

偏导数所组成的方程组的解法可以简化为： x^2／(x+2)^4=y^2／(y+2)^4=z／^2/(z+2)^4，
即同时有x=y或xy=4，y=z或yz=4，z=x或zx=4.
根据对称性仅有x=y=z，或x=y且xz=4两种情形，
根据条件x+y+z=12，仅有x=y=z=4，或x=y=3+√7，z=6-2√7，或x=y=3-√7，z=6+2√7三种情形。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解法思路很好！下面是根据这一思路的详细解答过程：

nasaliu2012

感謝兩位的解答