ABC,BDC 是全等正三角形，O 是 ΔABC 中心，F 是 AE 中点，证明：OF⊥DF，∠OFD=60°

ccmmjj

如图；有两个全等的正三角形ABC和BDE，O是三角形ABC的中心，F是AE的中点。求证：DFO是内角是30°，60°，90°的特殊三角形。

uk702

\( 设\ C\ 为原点，\ 则 \ A=Be^{\frac{-i\pi}{3}}, \  E=De^{\frac{i\pi}{3}} \)
\( 求得\ G=\frac{A+B+C}{3} = \frac{B(1+e^{\frac{-i\pi}{3}})}{3},  \)
\( F=\frac{B+D}{2}  \)
\( \overrightarrow{GF}=G-F=\frac{2Be^{\frac{-i\pi}{3}}-B-3D}{6} \)
\( \overrightarrow{EF}=E-F=\frac{2De^{\frac{i\pi}{3}}-B-D}{2} \)
\( \)
\( \)
\( \)
\( 令  B/D=u，于是需证对于任意复数 \ u，\frac{2ue^{\frac{-i\pi}{3}}-u-3}{2e^{\frac{i\pi}{3}}-u-1} \ 是一个纯虚数 \)
\( Mathematica \ 求解得上式 = \sqrt{3}i \)

uk702

说实在，一开始还真不太相信  \( \frac{2Be^{\frac{-i\pi}{3}}-B-3D}{2De^{\frac{i\pi}{3}}-B-D} \) 是一个纯虚数，尽管在 GGB 上显示得很清楚，还是要借助 MMA 来求解。

复数&向量法对于交点、（不平行的）两条线段相等、角度相等或成倍数等关系似很难利用，至少是相当繁琐。比如说下面这道题，看起来很简单（实际也不难），但似乎没有好的方法。

如图，\( ABCD \)为平行四边形， \( BE = DF \)， \( BF \)交  \( DE \)于 \( G \)。求证 \( ∠BCG = ∠DCG \)。

王守恩

1,\(还是这不烧脑细胞的。记\ AB=BE=1\ \ \ \ ∠CBF=a\)

\((FD)^2=(\cos(30^\circ-a))^2+(1)^2-2\cos(30^\circ-a)\cos(30^\circ+a)\)

\((OF)^2=(\cos(30^\circ-a))^2+(\tan(30^\circ))^2-2\cos(30^\circ-a)\tan(30^\circ)\cos(a)\)

\((OD)^2=(1)^2+(\tan(30^\circ))^2+2\tan(30^\circ)\sin(30^\circ+2a)\)

\( p=\frac{(OF)^2}{(OD)^2}\ \ 化简可得\ p=\frac{1}{4}\ \ \ k=\frac{(OF)^2+(FD)^2}{(OD)^2}\ \ 化简可得\ k=1\)

2,\(还是这不烧脑细胞的。记\ AB=\sin(a)\ \ \ BE=\sin(b)\ \ \ AE=\sin(a+b)\)

\((FD)^2=(\sin(a+b)/2)^2+(\sin(b))^2-\sin(a+b)\sin(b)\sin(30^\circ-a)\)

\((OF)^2=(\sin(a+b)/2)^2+(\sin(a)\tan(30^\circ))^2-\sin(a+b)\sin(a)\tan(30^\circ)\cos(30^\circ+b)\)

\((OD)^2=(\sin(b))^2+(\sin(a)\tan(30^\circ))^2+2\sin(b)\sin(a)\tan(30^\circ)\sin(a+b)\)

\( p=\frac{(OF)^2}{(OD)^2}\ \ 化简可得\ p=\frac{1}{4}\ \ \ k=\frac{(OF)^2+(FD)^2}{(OD)^2}\ \ 化简可得\ k=1\)

uk702

纯几何的也不难。

作 G 关于 F 的对称点 P，则四边形 BGDP是平行四边形。
于是 DP//BG 且 DP=BG
∴DP=GC

作 CD 的延长线与 GB 交于 J，则有
∠GCE=30°+∠ACE
∠EDP=60°+∠CDP
          =60°+∠GJC
          =60°+(30°-∠BCJ)
          =90°-∠BCJ
          =90°-(180°-120°-∠ACE)
          =30°+∠ACE
∴∠GCE=∠EDP
∴△EGC≌△EPD
∴ △EGC是△EPD旋转60°之后所得
∴ EG=EP，且∠GEP=60°

∴ GF⊥EF 且∠EGP=60°

luyuanhong

楼上 uk702 的解答很好！已收藏。

ccmmjj

谢谢uk702仔细认真的研究，让我看到全等的条件是不必要的！这道题也费了我一番力气，我也写一个证明如下，大家一起交流。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的解答很好！已收藏。

uk702

uk702 发表于 2021-11-3 09:35
说实在，一开始还真不太相信  \( \frac{2Be^{\frac{-i\pi}{3}}-B-3D}{2De^{\frac{i\pi}{3}}-B-D} \) 是一个 ...

@denglongshan

偷懒了，大写字母表示该点的复数。

我搜了一下有关莫利定理的复数证明，个人认为，只能说证明过程很朴实，很好地展示了计算的力量（这一点我从不怀疑），但谈不上简便（或许题目本身就并不简单）。

当然了，最后放大招暴力屠龙也是一种方法。

王守恩

uk702 发表于 2021-11-3 23:55
@denglongshan

偷懒了，大写字母表示该点的复数。

\(4楼同样处理“莫利定理”。\ BC=\sin(a)\ \ \ CA=\sin(b)\ \ \ AB=\sin(c)=\sin(a+b)\)

\((DE)^2=(\frac{\sin(a)\sin(b/3)}{\sin((b+c)/3)})^2+(\frac{\sin(b)\sin(a/3)}{\sin((a+c)/3)})^2-2(\frac{\sin(a)\sin(b/3)}{\sin((b+c)/3)})(\frac{\sin(b)\sin(a/3)}{\sin((a+c)/3)})\cos(c/3)\)

\((EF)^2=(\frac{\sin(b)\sin(c/3)}{\sin((c+a)/3)})^2+(\frac{\sin(c)\sin(b/3)}{\sin((b+a)/3)})^2-2(\frac{\sin(b)\sin(c/3)}{\sin((c+a)/3)})(\frac{\sin(c)\sin(b/3)}{\sin((b+a)/3)})\cos(a/3)\)

\((FD)^2=(\frac{\sin(c)\sin(a/3)}{\sin((a+b)/3)})^2+(\frac{\sin(a)\sin(c/3)}{\sin((c+b)/3)})^2-2(\frac{\sin(c)\sin(a/3)}{\sin((a+b)/3)})(\frac{\sin(a)\sin(c/3)}{\sin((c+b)/3)})\cos(b/3)\)

\(\frac{DE}{\sin(x)}=\frac{EF}{\sin(y)}=\frac{FD}{\sin(x+y)}\ \ 解得\ x=y=60^\circ\)

\(嗨！电脑一按，\pi/3\ 不就来了？！\)