一元三次方程 ax^3+bx^2+cx+d=0 总可以写成 x^3+px+q=0 的形式么？

wufaxian

任何一元三次方程：\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)都可以化简成\(x^3+px+q=0\)的形式么？请看下图




最终可以化简成\(x^3+px+q=0\)

其次，方程\(-x^3+x^2+x-1=0\) 通过公式确实可以求出三个跟-1 1 1 ,两个1是重复的。从函数图形也表明这个方程应该属于三次方程只有两个根的情况。但是为什么这个一元三次方程却可以求出三个根？为什么会出现这种矛盾，我总觉得图形更可靠，更令人信服。如果确实有三个根，那么会与x轴有三个独立的交点。



最后。三次方程求根，是属于大学那一门数学课程的内容？

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

波斯猫猫

是三个根，1是二重根。高代！

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

wufaxian

风花飘飘 发表于 2021-11-3 15:37

谢谢回复，有一点我觉得有些不容易理解。就是化简到最后x^2 项消失了。这有什么简单明了的方式解释这种现象么？比如x^2 项对方程的约束消失了么？还是被其他项代替了？

luyuanhong

wufaxian 发表于 2021-11-3 20:17
谢谢回复，有一点我觉得有些不容易理解。就是化简到最后x^2 项消失了。这有什么简单明了的方式解释这种现 ...

你将第 1 楼帖子中，第 2 个式子中的几个括号，全部展开成 x 的多项式，

然后将 x^3 ，x^2 , x 项和常数项分别合并。

这时，你就会发现，x^2 项的系数正好全部抵消，变成了 0 。

因为 x^2 项的系数变成了 0 ，所以，x^2 项看起来就“消失”了。

还要说明一点：

第 1 楼帖子中第一个式子中的 x ，与后面几个式子中的 x ，其实并不是同一个 x 。

从第一个式子到第二个式子，是作了一个变量代换，相当于令 x=y-b/(3a) 。

所以，后面几个式子中的 x ，严格说来，应该写成 y 。

严格说来，就是：方程 ax^3+bx^2+cx+d=0 ，作变量代换 x=y-b/(3a) 后，

可以变成没有平方项的方程 y^3+py+q=0 。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-11-3 21:55
你将第 1 楼帖子中，第 2 个式子中的几个括号，全部展开成 x 的多项式，

然后将 x^3 ，x^2 , x 项和 ...

谢谢lu老师的详细回复。其实我是在求3阶矩阵的特征值时遇到了三次方程求解。我在想更高次方程求解恐怕更加复杂。那么现在课本教的解方程求特征值的方法是不是最有效的方法。针对高阶矩阵求特征值是否有其他方法可以绕开高次方程求解这个难点？

过去计算机不普及的时候求高阶矩阵的特征值人们使用什么方法呢？

luyuanhong

求特征值，求高次方程的解，数学上早已有了一套方法，可以用数值方法求近似的数值解。

即使在过去没有计算机的年代，也可以用手算的方法，求出数值解，只不过比较费力而已。