数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 10507|回复: 52

抽量不足之线性不定方程正整数解

[复制链接]
发表于 2021-11-4 08:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
抽量不足之线性不定方程正整数解
分别从3-15个正整数中抽取2-8个正整数组成的2-6元线性不定方程的正整数解,已被白新岭先生广泛研究,其正整数解的组数先后发表在《k生素数群的数量公式》等博客中。
具体一点就是3抽2、5抽3、7抽4、9抽5、11抽6、13抽7、15抽8;将被抽之数作为线性多元不定方程(x+y=n,x+y+z=n,x+y+z+u=n,x+y+z+u+v=n,x+y+z+u+v+w=n)之常数项n都有不同数量的正整数解。
如果抽量不足又会怎么样?如5抽2、7抽2、7抽3……,试一试便知。

评分

参与人数 1威望 +20 收起 理由
白新岭 + 20 鉴于41#对7抽2,9抽2的融会贯通特奖励

查看全部评分

 楼主| 发表于 2021-11-4 08:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-4 08:15 编辑

独舟星海点评:
yangchuanju先生已经完全掌握了这种方法分析,限定条件下,线性不定方程的正整数解组数问题,并加以运用。因为从本帖中,看到了5抽取4个数的合成结果。也可以,逆向思考,来个5抽2组合,看一看结果如何?  发表于 2021-11-3 14:18
或者来个,7抽3组合;7抽2组合;以此来降低数据量,但是难度不会降级。此时就有,模7的余数类,没有合成数出现,不同余数的参与会有不同的结果,不在遍历7的所有余数类,但是随着元数增多,仍就可以弥补其不足。  发表于 2021-11-3 14:31
比如7抽3的3元组合(x+y+z=n),在不行,来个7抽3的4元组合(x+y+z+u=n),总可以遍历的,但是7抽3的2元组合,绝对遍历不了。  发表于 2021-11-3 14:38

在这点,或许你没有搞懂,几抽几与元数多少无关联性,比如7抽3时,只是从7类余数中任意取出3类余数,参与运算而已。2元,3元,4元,5元,6元,7元,8元,9元,是未知数的个数,每个未知数都是从3类余数类中取数。  发表于 2021-11-3 15:48
几抽几是限制条件,未知数不能随意取数,只能取给定范围内的数值,而几元运算,是指未知数的个数,它们是两码事。一个是限制条件,一个是未知数的个数。互不相干,各自独立。  发表于 2021-11-3 15:54

从老师点评中得知,9抽5作为6元线性不定方程之常数项属正常问题,存在大量的正整数解;
5抽3,7抽4等也应该能当成4元、5元、6元或6元以上线性不定方程之常数项,并有解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-4 08:16 | 显示全部楼层
5抽2之二元不定方程组组合模式共10种:                                       
序1        1        2        序6        2        4
序2        1        3        序7        2        5
序3        1        4        序8        3        4
序4        1        5        序9        3        5
序5        2        3        序10        4        5

5抽2之二元不定方程组之正整数解组数                                                       
序1        1        2        6        7                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        0        40        44        48        52        56
                                                       
序2        1        3        6        8                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        2        0        20        22        24        26        28
5→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        -1        39        43        47        51        55
                                                       
序3        1        4        6        9                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        1        -1        9        10        11        12        13
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→0        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        4        -1        39        43        47        51        55

序4        1        5        6        10                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        2        -2        18        20        22        24        26
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→0        1        -1        9        10        11        12        13
一周汇总        4        -3        37        41        45        49        53

序5        2        3        7        8                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→0        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        4        -1        39        43        47        51        55

序6        2        4        7        9                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        2        -2        18        20        22        24        26
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        1        -1        9        10        11        12        13
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        -3        37        41        45        49        53

序7        2        5        7        10                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        2        -2        18        20        22        24        26
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→0        1        -1        9        10        11        12        13
一周汇总        4        -3        37        41        45        49        53

序8        3        4        8        9                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        2        -2        18        20        22        24        26
3→→→        1        -1        9        10        11        12        13
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        -4        36        40        44        48        52

序9        3        5        8        10                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        2        -2        18        20        22        24        26
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→0        1        -1        9        10        11        12        13
一周汇总        4        -4        36        40        44        48        52

序10        4        5        9        10                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        1        -1        9        10        11        12        13
4→→→        2        -2        18        20        22        24        26
5→→0        1        -1        9        10        11        12        13
一周汇总        4        -4        36        40        44        48        52
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-4 08:17 | 显示全部楼层
(接上楼)
每种模式下都有两个不定方程无解,例模式2(序2)的第10周取值是:
1        3        6        8        11        13        16        18
21        23        26        28        31        33        36        38
41        43        46        48                               
不定方程组:x+y=46,47,48,49,50中的x+y=48和x+y=50应该无解;
x+y=46应有9组解:3+43,8+38,13+33,18+28,23+23,28+18,33+13,38+8,43+3;
x+y=47应有10组解:1+46,6+41,11+36,16+31,21+26,26+21,31+16,36+11,41+6,46+1;
x+y=49应有20组解:1+48,3+46,6+43,8+41,11+38,13+36,16+33,18+31,21+28,23+26,
26+23,28+21,31+18,33+16,36+13,41+8,43+6,46+3,48+1。
其余从略。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-4 08:19 | 显示全部楼层
7抽2之二元不定方程组组合模式共21种:
序1        1        2        序12        3        4
序2        1        3        序13        3        5
序3        1        4        序14        3        6
序4        1        5        序15        3        7
序5        1        6        序16        4        5
序6        1        7        序17        4        6
序7        2        3        序18        4        7
序8        2        4        序19        5        6
序9        2        5        序20        5        7
序10        2        6        序21        6        7
序11        2        7                       

7抽2之二元不定方程组之正整数解组数(仅试验前11种模式):                                                       
序1        1        2        8        9                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        0        40        44        48        52        56
                                                       
序2        1        3        8        10                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        2        0        20        22        24        26        28
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        1        0        10        11        12        13        14
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        0        40        44        48        52        56
                                                       
序3        1        4        8        11                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→→        2        0        20        22        24        26        28
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        -1        39        43        47        51        55

序4        1        5        8        12                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        1        -1        9        10        11        12        13
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        2        0        20        22        24        26        28
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        -1        39        43        47        51        55

序5        1        6        8        13                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→→        1        -1        9        10        11        12        13
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→0        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        4        -1        39        43        47        51        55

序6        1        7        8        14                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        2        -2        18        20        22        24        26
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        0        0        0        0        0        0        0
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→0        1        -1        9        10        11        12        13
一周汇总        4        -3        37        41        45        49        53

序7        2        3        9        10                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        2        0        20        22        24        26        28
6→→→        1        0        10        11        12        13        14
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        0        40        44        48        52        56

序8        2        4        9        11                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        2        0        20        22        24        26        28
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        -1        39        43        47        51        55

序9        2        5        9        12                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        1        -1        9        10        11        12        13
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→0        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        4        -1        39        43        47        51        55

序10        2        6        9        13                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        2        -2        18        20        22        24        26
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        1        -1        9        10        11        12        13
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        -3        37        41        45        49        53

序11        2        7        9        14                       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        2        -2        18        20        22        24        26
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→0        1        -1        9        10        11        12        13
一周汇总        4        -3        37        41        45        49        53
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-4 08:20 | 显示全部楼层
(接上楼)
每种模式下都有四个不定方程无解,例模式2(序2)的第10周取值是:
1        3        8        10        15        17        22        24
29        31        36        38        43        45        50        52
57        59        64        66
不定方程组:x+y=64,65,66,67,68,69,70中的x+y=64,66,68,70无解;
x+y=65有10组解:1+64,8+57,15+50,22+43,29+36,36+29,43+22,50+15,57+8,64+1;
x+y=67有20组解:1+66,3+64,8+59,10+57,15+52,17+50,22+45,24+43,29+38,31+36,
36+31,38+29,43+24,45+22,50+17,52+15,57+10,59+8,64+3,66+1;
x+y=69有10组解:3+66,10+59,17+52,24+45,31+38,38+31,45+24,52+17,59+10,66+3。
其余从略。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-4 08:22 | 显示全部楼层
7抽3之二元不定方程组组合模式共35种:
序1        1        2        3
序2        1        2        4
序3        1        2        5
序4        1        2        6
序5        1        2        7
序6        1        3        4
序7        1        3        5
序8        1        3        6
序9        1        3        7
序10        1        4        5
序11        1        4        6
序12        1        4        7
序13        1        5        6
序14        1        5        7
序15        1        6        7
序16        2        3        4
序17        2        3        5
序18        2        3        6
序19        2        3        7
序20        2        4        5
序21        2        4        6
序22        2        4        7
序23        2        5        6
序24        2        5        7
序25        2        6        7
序26        3        4        5
序27        3        4        6
序28        3        4        7
序29        3        5        6
序30        3        5        7
序31        3        6        7
序32        4        5        6
序33        4        5        7
序34        4        6        7
序35        5        6        7
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-4 08:23 | 显示全部楼层
7抽3之二元不定方程组之正整数解组数(仅试验前5种模式):                                                       
序1        1        2        3        8        9        10       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        3        0        30        33        36        39        42
5→→→        2        0        20        22        24        26        28
6→→→        1        0        10        11        12        13        14
7→→→        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        9        0        90        99        108        117        126
                                                       
序2        1        2        4        8        9        11       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        2        0        20        22        24        26        28
6→→→        2        0        20        22        24        26        28
7→→→        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        9        -1        89        98        107        116        125
                                                       
序3        1        2        5        8        9        12       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        3        -1        29        32        35        38        41
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        2        0        20        22        24        26        28
7→→→        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        9        -1        89        98        107        116        125
                                                       
序4        1        2        6        8        9        13       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        2        -2        18        20        22        24        26
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        1        -1        9        10        11        12        13
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→→        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        9        -3        87        96        105        114        123
                                                       
序5        1        2        7        8        9        14       
mod(n,7)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        2        -2        18        20        22        24        26
2→→→        3        -2        28        31        34        37        40
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        0        0        0        0        0        0        0
6→→→        0        0        0        0        0        0        0
7→→→        1        -1        9        10        11        12        13
一周汇总        9        -5        85        94        103        112        121

每种模式下都有一个或二个不定方程无解。                                                       
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-4 08:28 | 显示全部楼层
9抽4也有126种模式                               
序号        数1        数2        数3        数4
序1        1        2        3        4
序2        1        2        3        5
序3        1        2        3        6
序4        1        2        3        7
序5        1        2        3        8
序6        1        2        3        9
序7        1        2        4        5
序8        1        2        4        6
序9        1        2        4        7
序10        1        2        4        8
序11        1        2        4        9
序12        1        2        5        6
序13        1        2        5        7
序14        1        2        5        8
序15        1        2        5        9
序16        1        2        6        7
序17        1        2        6        8
序18        1        2        6        9
序19        1        2        7        8
序20        1        2        7        9
序21        1        2        8        9
序22        1        3        4        5
序23        1        3        4        6
序24        1        3        4        7
序25        1        3        4        8
序26        1        3        4        9
序27        1        3        5        6
序28        1        3        5        7
序29        1        3        5        8
序30        1        3        5        9
序31        1        3        6        7
序32        1        3        6        8
序33        1        3        6        9
序34        1        3        7        8
序35        1        3        7        9
序36        1        3        8        9
序37        1        4        5        6
序38        1        4        5        7
序39        1        4        5        8
序40        1        4        5        9
序41        1        4        6        7
序42        1        4        6        8
序43        1        4        6        9
序44        1        4        7        8
序45        1        4        7        9
序46        1        4        8        9
序47        1        5        6        7
序48        1        5        6        8
序49        1        5        6        9
序50        1        5        7        8
序51        1        5        7        9
序52        1        5        8        9
序53        1        6        7        8
序54        1        6        7        9
序55        1        6        8        9
序56        1        7        8        9
序57        2        3        4        5
序58        2        3        4        6
序59        2        3        4        7
序60        2        3        4        8
序61        2        3        4        9
序62        2        3        5        6
序63        2        3        5        7
序64        2        3        5        8
序65        2        3        5        9
序66        2        3        6        7
序67        2        3        6        8
序68        2        3        6        9
序69        2        3        7        8
序70        2        3        7        9
序71        2        3        8        9
序72        2        4        5        6
序73        2        4        5        7
序74        2        4        5        8
序75        2        4        5        9
序76        2        4        6        7
序77        2        4        6        8
序78        2        4        6        9
序79        2        4        7        8
序80        2        4        7        9
序81        2        4        8        9
序82        2        5        6        7
序83        2        5        6        8
序84        2        5        6        9
序85        2        5        7        8
序86        2        5        7        9
序87        2        5        8        9
序88        2        6        7        8
序89        2        6        7        9
序90        2        6        8        9
序91        2        7        8        9
序92        3        4        5        6
序93        3        4        5        7
序94        3        4        5        8
序95        3        4        5        9
序96        3        4        6        7
序97        3        4        6        8
序98        3        4        6        9
序99        3        4        7        8
序100        3        4        7        9
序101        3        4        8        9
序102        3        5        6        7
序103        3        5        6        8
序104        3        5        6        9
序105        3        5        7        8
序106        3        5        7        9
序107        3        5        8        9
序108        3        6        7        8
序109        3        6        7        9
序110        3        6        8        9
序111        3        7        8        9
序112        4        5        6        7
序113        4        5        6        8
序114        4        5        6        9
序115        4        5        7        8
序116        4        5        7        9
序117        4        5        8        9
序118        4        6        7        8
序119        4        6        7        9
序120        4        6        8        9
序121        4        7        8        9
序122        5        6        7        8
序123        5        6        7        9
序124        5        6        8        9
序125        5        7        8        9
序126        6        7        8        9
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-4 08:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-4 08:37 编辑

9抽4也不能覆盖所有二元线性不定方程x+y=n,部分不定方程无正整数解,例:
序1        1        2        3        4                       
mod(n,9)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        3        0        30        33        36        39        42
5→→→        4        0        40        44        48        52        56
6→→→        3        0        30        33        36        39        42
7→→→        2        0        20        22        24        26        28
8→→→        1        0        10        11        12        13        14
9→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        16        0        160        176        192        208        224
                                                       
序2        1        2        3        5                       
mod(n,9)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        3        0        30        33        36        39        42
5→→→        2        0        20        22        24        26        28
6→→→        3        0        30        33        36        39        42
7→→→        2        0        20        22        24        26        28
8→→→        2        0        20        22        24        26        28
9→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        16        -1        159        175        191        207        223
                                                       
序3        1        2        3        6                       
mod(n,9)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        3        -1        29        32        35        38        41
4→→→        3        0        30        33        36        39        42
5→→→        2        0        20        22        24        26        28
6→→→        1        0        10        11        12        13        14
7→→→        2        0        20        22        24        26        28
8→→→        2        0        20        22        24        26        28
9→→0        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        16        -1        159        175        191        207        223
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-11 14:59 , Processed in 0.083441 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表