抽量不足之线性不定方程正整数解

yangchuanju · 发表于 2021-11-4 08:13

抽量不足之线性不定方程正整数解
分别从3-15个正整数中抽取2-8个正整数组成的2-6元线性不定方程的正整数解，已被白新岭先生广泛研究，其正整数解的组数先后发表在《k生素数群的数量公式》等博客中。
具体一点就是3抽2、5抽3、7抽4、9抽5、11抽6、13抽7、15抽8；将被抽之数作为线性多元不定方程(x+y=n,x+y+z=n,x+y+z+u=n,x+y+z+u+v=n,x+y+z+u+v+w=n)之常数项n都有不同数量的正整数解。
如果抽量不足又会怎么样？如5抽2、7抽2、7抽3……，试一试便知。

yangchuanju · 发表于 2021-11-4 08:14

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-4 08:15 编辑

独舟星海点评：
yangchuanju先生已经完全掌握了这种方法分析，限定条件下，线性不定方程的正整数解组数问题，并加以运用。因为从本帖中，看到了5抽取4个数的合成结果。也可以，逆向思考，来个5抽2组合，看一看结果如何？  发表于 2021-11-3 14:18
或者来个，7抽3组合；7抽2组合；以此来降低数据量，但是难度不会降级。此时就有，模7的余数类，没有合成数出现，不同余数的参与会有不同的结果，不在遍历7的所有余数类，但是随着元数增多，仍就可以弥补其不足。  发表于 2021-11-3 14:31
比如7抽3的3元组合（x+y+z=n），在不行，来个7抽3的4元组合（x+y+z+u=n），总可以遍历的，但是7抽3的2元组合，绝对遍历不了。  发表于 2021-11-3 14:38

在这点，或许你没有搞懂，几抽几与元数多少无关联性，比如7抽3时，只是从7类余数中任意取出3类余数，参与运算而已。2元，3元，4元，5元，6元，7元，8元，9元，是未知数的个数，每个未知数都是从3类余数类中取数。  发表于 2021-11-3 15:48
几抽几是限制条件，未知数不能随意取数，只能取给定范围内的数值，而几元运算，是指未知数的个数，它们是两码事。一个是限制条件，一个是未知数的个数。互不相干，各自独立。  发表于 2021-11-3 15:54

从老师点评中得知，9抽5作为6元线性不定方程之常数项属正常问题，存在大量的正整数解；
5抽3,7抽4等也应该能当成4元、5元、6元或6元以上线性不定方程之常数项，并有解。

yangchuanju · 发表于 2021-11-4 08:16

5抽2之二元不定方程组组合模式共10种：
序1 1 2 序6 2 4
序2 1 3 序7 2 5
序3 1 4 序8 3 4
序4 1 5 序9 3 5
序5 2 3 序10 4 5

5抽2之二元不定方程组之正整数解组数
序1 1 2 6 7
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 0 40 44 48 52 56

序2 1 3 6 8
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 2 0 20 22 24 26 28
5→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 -1 39 43 47 51 55

序3 1 4 6 9
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→0 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 4 -1 39 43 47 51 55

序4 1 5 6 10
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→0 1 -1 9 10 11 12 13
一周汇总 4 -3 37 41 45 49 53

序5 2 3 7 8
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→0 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 4 -1 39 43 47 51 55

序6 2 4 7 9
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 -3 37 41 45 49 53

序7 2 5 7 10
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→0 1 -1 9 10 11 12 13
一周汇总 4 -3 37 41 45 49 53

序8 3 4 8 9
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
3→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 -4 36 40 44 48 52

序9 3 5 8 10
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→0 1 -1 9 10 11 12 13
一周汇总 4 -4 36 40 44 48 52

序10 4 5 9 10
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
4→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
5→→0 1 -1 9 10 11 12 13
一周汇总 4 -4 36 40 44 48 52

yangchuanju · 发表于 2021-11-4 08:17

（接上楼）
每种模式下都有两个不定方程无解，例模式2（序2）的第10周取值是：
1 3 6 8 11 13 16 18
21 23 26 28 31 33 36 38
41 43 46 48
不定方程组：x+y=46,47,48,49,50中的x+y=48和x+y=50应该无解；
x+y=46应有9组解：3+43,8+38,13+33,18+28,23+23,28+18,33+13,38+8,43+3；
x+y=47应有10组解：1+46,6+41,11+36,16+31,21+26,26+21,31+16,36+11,41+6,46+1；
x+y=49应有20组解：1+48,3+46,6+43,8+41,11+38,13+36,16+33,18+31,21+28,23+26，
26+23,28+21,31+18,33+16,36+13,41+8,43+6,46+3,48+1。
其余从略。

yangchuanju · 发表于 2021-11-4 08:19

7抽2之二元不定方程组组合模式共21种：
序1 1 2 序12 3 4
序2 1 3 序13 3 5
序3 1 4 序14 3 6
序4 1 5 序15 3 7
序5 1 6 序16 4 5
序6 1 7 序17 4 6
序7 2 3 序18 4 7
序8 2 4 序19 5 6
序9 2 5 序20 5 7
序10 2 6 序21 6 7
序11 2 7

7抽2之二元不定方程组之正整数解组数（仅试验前11种模式）：
序1 1 2 8 9
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 0 40 44 48 52 56

序2 1 3 8 10
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 2 0 20 22 24 26 28
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 1 0 10 11 12 13 14
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 0 40 44 48 52 56

序3 1 4 8 11
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→→ 2 0 20 22 24 26 28
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 -1 39 43 47 51 55

序4 1 5 8 12
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 2 0 20 22 24 26 28
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 -1 39 43 47 51 55

序5 1 6 8 13
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→0 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 4 -1 39 43 47 51 55

序6 1 7 8 14
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 0 0 0 0 0 0 0
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→0 1 -1 9 10 11 12 13
一周汇总 4 -3 37 41 45 49 53

序7 2 3 9 10
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 2 0 20 22 24 26 28
6→→→ 1 0 10 11 12 13 14
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 0 40 44 48 52 56

序8 2 4 9 11
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 2 0 20 22 24 26 28
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 -1 39 43 47 51 55

序9 2 5 9 12
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→0 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 4 -1 39 43 47 51 55

序10 2 6 9 13
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 -3 37 41 45 49 53

序11 2 7 9 14
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→0 1 -1 9 10 11 12 13
一周汇总 4 -3 37 41 45 49 53

yangchuanju · 发表于 2021-11-4 08:20

（接上楼）
每种模式下都有四个不定方程无解，例模式2（序2）的第10周取值是：
1 3 8 10 15 17 22 24
29 31 36 38 43 45 50 52
57 59 64 66
不定方程组：x+y=64,65,66,67,68,69,70中的x+y=64,66,68,70无解；
x+y=65有10组解：1+64,8+57,15+50,22+43,29+36,36+29,43+22,50+15,57+8,64+1；
x+y=67有20组解：1+66,3+64,8+59,10+57,15+52,17+50,22+45,24+43,29+38,31+36，
36+31,38+29,43+24,45+22,50+17,52+15,57+10,59+8,64+3,66+1；
x+y=69有10组解：3+66,10+59,17+52,24+45,31+38,38+31,45+24,52+17,59+10,66+3。
其余从略。

yangchuanju · 发表于 2021-11-4 08:22

7抽3之二元不定方程组组合模式共35种：
序1 1 2 3
序2 1 2 4
序3 1 2 5
序4 1 2 6
序5 1 2 7
序6 1 3 4
序7 1 3 5
序8 1 3 6
序9 1 3 7
序10 1 4 5
序11 1 4 6
序12 1 4 7
序13 1 5 6
序14 1 5 7
序15 1 6 7
序16 2 3 4
序17 2 3 5
序18 2 3 6
序19 2 3 7
序20 2 4 5
序21 2 4 6
序22 2 4 7
序23 2 5 6
序24 2 5 7
序25 2 6 7
序26 3 4 5
序27 3 4 6
序28 3 4 7
序29 3 5 6
序30 3 5 7
序31 3 6 7
序32 4 5 6
序33 4 5 7
序34 4 6 7
序35 5 6 7

yangchuanju · 发表于 2021-11-4 08:23

7抽3之二元不定方程组之正整数解组数（仅试验前5种模式）：
序1 1 2 3 8 9 10
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 3 0 30 33 36 39 42
5→→→ 2 0 20 22 24 26 28
6→→→ 1 0 10 11 12 13 14
7→→→ 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 9 0 90 99 108 117 126

序2 1 2 4 8 9 11
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 2 0 20 22 24 26 28
6→→→ 2 0 20 22 24 26 28
7→→→ 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 9 -1 89 98 107 116 125

序3 1 2 5 8 9 12
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 3 -1 29 32 35 38 41
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 2 0 20 22 24 26 28
7→→→ 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 9 -1 89 98 107 116 125

序4 1 2 6 8 9 13
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→→ 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 9 -3 87 96 105 114 123

序5 1 2 7 8 9 14
mod(n,7) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
2→→→ 3 -2 28 31 34 37 40
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 0 0 0 0 0 0 0
6→→→ 0 0 0 0 0 0 0
7→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
一周汇总 9 -5 85 94 103 112 121

每种模式下都有一个或二个不定方程无解。

yangchuanju · 发表于 2021-11-4 08:28

9抽4也有126种模式
序号数1 数2 数3 数4
序1 1 2 3 4
序2 1 2 3 5
序3 1 2 3 6
序4 1 2 3 7
序5 1 2 3 8
序6 1 2 3 9
序7 1 2 4 5
序8 1 2 4 6
序9 1 2 4 7
序10 1 2 4 8
序11 1 2 4 9
序12 1 2 5 6
序13 1 2 5 7
序14 1 2 5 8
序15 1 2 5 9
序16 1 2 6 7
序17 1 2 6 8
序18 1 2 6 9
序19 1 2 7 8
序20 1 2 7 9
序21 1 2 8 9
序22 1 3 4 5
序23 1 3 4 6
序24 1 3 4 7
序25 1 3 4 8
序26 1 3 4 9
序27 1 3 5 6
序28 1 3 5 7
序29 1 3 5 8
序30 1 3 5 9
序31 1 3 6 7
序32 1 3 6 8
序33 1 3 6 9
序34 1 3 7 8
序35 1 3 7 9
序36 1 3 8 9
序37 1 4 5 6
序38 1 4 5 7
序39 1 4 5 8
序40 1 4 5 9
序41 1 4 6 7
序42 1 4 6 8
序43 1 4 6 9
序44 1 4 7 8
序45 1 4 7 9
序46 1 4 8 9
序47 1 5 6 7
序48 1 5 6 8
序49 1 5 6 9
序50 1 5 7 8
序51 1 5 7 9
序52 1 5 8 9
序53 1 6 7 8
序54 1 6 7 9
序55 1 6 8 9
序56 1 7 8 9
序57 2 3 4 5
序58 2 3 4 6
序59 2 3 4 7
序60 2 3 4 8
序61 2 3 4 9
序62 2 3 5 6
序63 2 3 5 7
序64 2 3 5 8
序65 2 3 5 9
序66 2 3 6 7
序67 2 3 6 8
序68 2 3 6 9
序69 2 3 7 8
序70 2 3 7 9
序71 2 3 8 9
序72 2 4 5 6
序73 2 4 5 7
序74 2 4 5 8
序75 2 4 5 9
序76 2 4 6 7
序77 2 4 6 8
序78 2 4 6 9
序79 2 4 7 8
序80 2 4 7 9
序81 2 4 8 9
序82 2 5 6 7
序83 2 5 6 8
序84 2 5 6 9
序85 2 5 7 8
序86 2 5 7 9
序87 2 5 8 9
序88 2 6 7 8
序89 2 6 7 9
序90 2 6 8 9
序91 2 7 8 9
序92 3 4 5 6
序93 3 4 5 7
序94 3 4 5 8
序95 3 4 5 9
序96 3 4 6 7
序97 3 4 6 8
序98 3 4 6 9
序99 3 4 7 8
序100 3 4 7 9
序101 3 4 8 9
序102 3 5 6 7
序103 3 5 6 8
序104 3 5 6 9
序105 3 5 7 8
序106 3 5 7 9
序107 3 5 8 9
序108 3 6 7 8
序109 3 6 7 9
序110 3 6 8 9
序111 3 7 8 9
序112 4 5 6 7
序113 4 5 6 8
序114 4 5 6 9
序115 4 5 7 8
序116 4 5 7 9
序117 4 5 8 9
序118 4 6 7 8
序119 4 6 7 9
序120 4 6 8 9
序121 4 7 8 9
序122 5 6 7 8
序123 5 6 7 9
序124 5 6 8 9
序125 5 7 8 9
序126 6 7 8 9

yangchuanju · 发表于 2021-11-4 08:29

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-4 08:37 编辑

9抽4也不能覆盖所有二元线性不定方程x+y=n，部分不定方程无正整数解，例：
序1 1 2 3 4
mod(n,9) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 3 0 30 33 36 39 42
5→→→ 4 0 40 44 48 52 56
6→→→ 3 0 30 33 36 39 42
7→→→ 2 0 20 22 24 26 28
8→→→ 1 0 10 11 12 13 14
9→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 16 0 160 176 192 208 224

序2 1 2 3 5
mod(n,9) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 3 0 30 33 36 39 42
5→→→ 2 0 20 22 24 26 28
6→→→ 3 0 30 33 36 39 42
7→→→ 2 0 20 22 24 26 28
8→→→ 2 0 20 22 24 26 28
9→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 16 -1 159 175 191 207 223

序3 1 2 3 6
mod(n,9) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 3 -1 29 32 35 38 41
4→→→ 3 0 30 33 36 39 42
5→→→ 2 0 20 22 24 26 28
6→→→ 1 0 10 11 12 13 14
7→→→ 2 0 20 22 24 26 28
8→→→ 2 0 20 22 24 26 28
9→→0 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 16 -1 159 175 191 207 223

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抽量不足之线性不定方程正整数解

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