对许进先生《55—构形与56—构形是可约的》一文的看法

雷明85639720

对许进先生《55—构形与56—构形是可约的》一文的看法
雷  明
（二○二一年十一月七日）

1、许文开始摘要中的第一句话是：“设G是一个最小度≥4的4色极大平面图，C是G的一个偶圈。若在G的某个Kempe等价类中C总是2—色的，则称C是G的一个2色不变圈，G是基于C的2—色不变圈极大平面图。”
这里有两个错误：
首先是文中所说的顶点度大于等于4的极大平面图实际上是只有顶点度全是4的八面体图和顶点度全是5的二十面体图两个极大平面图。因为平面图中不可能存在顶点度全是大于等于6的极大平面图。
若在一个顶点度全是5度的二十面体图中的某一个面内增加一个顶点，最多也只能增加3条边，图中虽然出现了3个6度的顶点，其度是大于4的；但又出现了一个3度的顶点。不可能保持顶点度都大于等于4。
若在一个顶点度全是4度的八面体图中的某一个面内增加一个顶点，同样最大也只能增加3条边，图中虽然也出现了3个5度顶点，其度也是大于4的；但却也出现了一个3度顶点。图仍不可能保持顶点度都是大于等于4的。
可以说除了这两个正则的极大平面图外，再不可能有那个极大平面图的顶点度全是大于等于4的。所以说许进先生所选择的研究四色问题的平靣图的范围太小了，根本不可能代表一般的任意平面图，即就是说他得出结论是（5，5）构形和（5，6）构形都是可约的，赫渥特图是可4一着色的，四色猜测是正确的，这都只能是在硬凑合。因为他研究的前提都是错的，试想一想他还能得出正确的结论吗？难道平面图里只有八面体图（4—正则极大图）和二十面体图（5—正则极大图）这两个图吗？多的是，只研究这两个图是很不够的。
其次是这里没有说明图中还有没有奇圈。
再其次说C是G的一个偶圈并且“C总是2—色的”也是不对的。偶圈作为一个单个图来说，偶圈是可2—色的，这只能说明偶圈的色数是2，而不能说明偶圈就不能着成3色或4色的。偶圈着成3色或4色时，也并不是违反四色猜测的，其色数仍是不大于4的。而偶圈作为图中的一个分子图来说，更是不能说在已4—着色的极大平面图中，所有的偶圈都是2—色的。只研究其中一个是2—色的偶圈，有什么意义呢？所以这样的前提就存在一定的局限性，是不能代表一般的极大平面图的。是得不出正确的结论的。
2、摘要中说“设G是一个最小度≥4的4色极大平面图，C是G的一个偶圈。”最小度是≥4的极大平面图，可以说只有八面体图（各顶点的度都是4）和二十面体图（各顶点的度都是5）。在这两个图的其础上，在某个面内增加一个顶点，增加的顶点的度最大只能是3度，这时就不存在“最小度≥4”了；若把这两个图的某两个顶点间的边去掉一条，这两点的度也就各减少了1度，也不存在“最小度≥4”了；若把这两个图中的某一个顶点去掉，则与该去掉的顶点所相邻的顶点的度数不也就都减少了1度吗？也不就不存在“最小度≥4”了吗？试想只研究这样的两个图（八面体图和二十面体图）的四色问题，对于解决整个四色问题有用没有用呢？
所以我认为许进的出发点就是错误的，如果他能得出正确的结论来，也就是在硬凑合出来的，没有什么用的。
3、摘要中除了以上所说的外，其他再向下的文字，我仍然没有看明白在说什么。我猜想他可能是在说图中一个用4种颜色着色的4—圈（其中心还有一个顶点未着色的中心顶点，即一个4—轮构形）中的中心顶点一定是可以着上四种颜色之一的。这不还仍是坎泊用以解决4—轮构形颜色冲突的颜色交换技术吗？但这里的“用4种颜色着色的4—圈”与其前面所说的“设G是一个最小度≥4的4色极大平面图，C是G的一个偶圈。若在G的某个Kempe等价类中C总是2—色的，则称C是G的一个2色不变圈，G是基于C的2—色不变圈极大平面图。”的前提又是互相矛盾的。
看到这里，就不想再往下看了。太费劲了。前提都错了，不可能得出正确的结论的。
我本文的意思并不是说许进先生的所有度都大于等于4的极大平面图的假设不对，而是说许进先生的这个假设的局限性太大。顶点度大于等于4的极大图，除了上述两个图外，还是有的，不含度小于等于3的极大图还是存在的，象赫渥特H—图，九点形图，埃雷拉E—图等都是这样的图。只是许先生这样的假里设所包括的极大平面图的面太小了，不能代表任意的极大平面图。

雷  明
二○二一年十一月七日于长安

雷明85639720

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雷明85639720

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雷明85639720

1、当一个偶圈就是一个单独的图时，其色数一定是2，但也不能说把一个偶圈着成3色或4色就是错误的，因为即就是着了3色或4色，也没有超出平面图的色数一定是不大于4的四色猜测的上限值；
2、偶圈不是在什么情况下必须着3色，而是偶圈作为某一个平面图的一个分子图时，很有可能着成3色或4色的，但这也是符合四色猜测的要求的，只要整个图中的色数不超过4就是正确的；
3、并不是说，在某个图中只要是遇到偶圈，非得只能用两种颜色，用3种4种都是可以的，仍是符合上色猜测要求的；
4、你说”偶圈着4色是错的“，这话说得不对，只能说“偶圈的色数是4”是错的，正确的应是“偶圈的色数是2”，但这前提是指单个的”偶圈“，而不是图中的某个分子图的”偶圈“。
5、四色猜测说的是任何平面图着色时最多四种颜色就够用了，而不是说一个平面图着色时就不能使用多于4种的颜色。现在市面上销售的地图中，所用的颜色数都是大于4的，难道这就不能区分各个区域了吗、还是可以的嘛，只是他的用色不是最少的，不符合四色猜测的要求。

朱明君

雷明85639720 发表于 2021-11-10 13:33
1、当一个偶圈就是一个单独的图时，其色数一定是2，但也不能说把一个偶圈着成3色或4色就是错误的，因为即就 ...

在相邻的两个同心圆圈中，即X1和X2分别为偶圈（偶圈上的点大于等于4）和奇圈（奇圈上的点大于等于3）则“偶圈的色数必须是3”

雷明85639720

1、我看不明白你纠竟是想说明什么问题呢？
2、在你所说的条件下的“偶圈”着上了3色或2色或4色也都是正常的事，只要整个图中的用色种数不大于四都是符合四色猜测要求的。
3、我画两个图，图中的偶圈分别有2色的，也有3色的，还有4色的。你看看，你能不能把每一个偶圈都改着成2色的呢？我认为你是办不到的，所以说许进所说的图中的所含有的“偶圈”分子图都是2色的是不可能的。只能是单个的偶圈才可以是2色的，但着3色或4色也并不违反四色猜测的要求。

雷明85639720

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雷明85639720

胡说！
八面体应是：
1、八面体有六个顶点，八个面且均是三边形面，是一个4—正则的极大平面图（每个顶点都连有4条边）。
2、八面体的每一个顶点都是一个4—轮的中心顶点，不分什么内部顶点与外围顶点，任何一个顶点都既是内部的顶点，又是外围的顶点。
3、八面体有6个4—轮圈，8个3—圈，若干个含有对角线的4—圈（由两个三边形面构成的4—圈），也有若干个5—圈和6—圈，你自已找吧。
4、你研究八面体中有多少个什么圈有什么意义呢？这与证明四色猜测有什么关系呢？

雷明85639720

朱明君朋友：
八面体就是一个平面图，且是一个4—正则的极大平面图。八面体就是有八个区域的地图的对偶图。这个地图中共有八个区域，每个区域都与4域相邻 。所以八面体所对应的平面图是一个4—正则的极大平面图。你说的八面体是一个立体图，这是从几何学的角度去看问题的，是立体的。但从图论的角度来看问题，八面体就是一个平面图，因为八面体画在平面上时，是在顶点以外没有边与边相交叉情况的。图论中只有平面图与非平面图之分，而没有平面图与立体图之分的。

雷明85639720

每一个顶点都是一个4—圈轮，八面体在6个顶点，所以有6个4—圈轮。你可以动手去计算一下嘛！