评述王树禾教授对Birkhoff钻石构形可约性的证明

雷明85639720

评述王树禾教授对Birkhoff钻石构形可约性的证明
雷  明
（二○二一年十一月七日）

由科学出版社出版的王树禾教授的《图论》一书（2004年1月第一版，2007年8月第四次印刷）中有王教授对Birkhoff钻石构形的可约性的证明，我认为该证明最后还是归结到用坎泊的颜色交换技术证明一个5—轮构形的可约性的问题上了。所以我仍认为用任何构形想替代坎泊1879年提出的不可避免集中的5—轮构形都是不可成功的。

图1就是Birkhoff钻石构形。外部有六个围栏顶点，内部有四个待着色顶点（加大）。王教授从围栏的左上角顶点起，按顺时针方向转动给围栏顶点进行了三十一种着色，并把这些着色分为“好着色”和“坏分布”两类。所谓好着色是指四个待着色顶贴不经使用坎泊的颜色交换技术就可以直接着上四种颜色之一的构形；而坏分布则是指需要使用坎泊的颜色交换技术才能给四个待着色顶点着上四种颜色之一的构形。王教授肯定的说：“如果上述31种可能的色分布每一个都是好的，那么T＇（王教授把四个待着色顶点以外的图叫T＇——雷明注）的每个可能的正常着色可以扩充到T（王教授的T是指含有Birkhoff钻石构形的整个图——雷明注），使T成为4色的。我们用Kemple链方法把上述31种色分布中的‘坏分布’转换成‘好着色’”。
王教授指出色分布121213是一个“好着色”，我们检验了一下，的却不用使用坎泊的颜色交换技术就可以给四个待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一（如图2）。

我们检查了一个“坏分布”121313，的却是不用坎泊的颜色交换技术是不可能给四个待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一的。但采用了颜色交换技术后，就可以使待着色顶点都能着上四种颜色之一（如图3）。
随后我们又检查了一个“坏分布”123413，也是使用了颜色交换技术后才把待着色顶点都着上四种颜色之一的（如图4）。
图3和图4中打问号的顶点，是不能直接着上四种颜色之一的顶点，括号中的颜色是交换后的颜色，箭头是给打问号的顶点着色的。
现在我们再检查一个“好着色”123132，的却也是好着色的。不用颜色交换技术就可以给待着色顶点着上四种颜色之一的（如图5）。

   

这个证明是成功的，说明了有四个顶点的Birkhoff钻石构形是可约的。但其最后仍是归结到给一个5—轮构形的待着色顶点的着色上。“好着色”的色分布的待着色顶点在着色时，其相邻的顶点都是用色不超过三种的，可以直接给其着上四种颜色之一；而“坏分布”的色分布的待着色顶点在着色时，总是在给第四个顶点着色时，其相邻的顶点是占用完了四种颜色的，即发生了颜色冲突现象，不能给其直接着上四种颜色之一的，只得用坎泊的颜色交换技术空出一种颜色，才能给这个待着色顶点着上。
所以说，研究Birkhoff钻石构形的可约性时，最后仍归结到给一个5—轮构形的待着色顶点着色上，还得用坎泊的颜色交换技术进行解决。即于这一原因，我才说用什么样的构形来替代不可避免的5—轮构形都是不可行的，替代不了的，最终解决的还是5—轮构形的可约性问题。
从这里可以看出，其他的用以替代5—轮构形的构形，都是可约的，也包括阿贝尔的（5，5）构形和（5，6）构形在内。
虽然王树禾对Birkhoff钻石构形所列出的那31种色分布都是可4—着色的，也说明了5—轮构形是不能用别的构形替代的，但5—轮构形是否可约，还是没有最终得到解决。因为这些构形的围栏顶点，没有一对对角顶点的链是连通的，也即所有的围栏顶点都是不连通的，进行一次坎泊已使用过的空出颜色的颜色交换技术就可以空出一种颜色来给最后一个待着色顶点着色，问题就得到了解决。而赫渥特发现的坎泊证明中所遗漏的那种含有双环交换链的5—轮构形如何解决，还是没有结果。所以，要彻底解决四色问题，还得要专门的研究5—轮构形的可约性的问题，非得从5—轮构形下手不可。
只所以含有双环交换叉链的5—轮构形不能直接空出某一种颜色给待着色顶点，主要是因为从任何一个同色顶点交换了与其对角顶点的颜色所构成的色链后，都会生成从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链，从而不能连续的移去两个同色。我们如果要说明Birkhoff钻石构形是可约的，就得要构造出含有双环交叉链的构形，且证明其一定是可以连续的移去两个同色的。
我们对以上图3和图4的Birkhoff钻石构形中的最后一个待着色顶点分别作了工作，除了不可构造出双环交叉链外，所能构造出双环交叉链者，都是一定可以连续的移去两个同色的。这就说明了Birkhoff钻石构形是可4—着色的。但这还不够，还不能说明四色猜测就是正确的。因为在有些平面图中不一定都会含有Birkhoff钻石构形，但却可以含有含有双环交叉链且不能连续的移去两个同色的构形（如图6的赫渥特图的简化图构形）。这里虽然证明了Birkhoff钻石构形是可约的，但却不能说明任何5—轮构形都是可约的。同时也说明了Birkhoff钻石构形不是不可避免的，研究不可避免的构形的可约性是没有意义的。所以说任何构形都是不能替代5—轮构形的，也是替代不了的。还得专门的对5—轮构形的可约性进行专题研究，才能解决四色问题。

我已经证明了在任何情况下的5—轮构形都是可约的了，所以，就可以得出四色猜测是正确的结论了。

雷  明
二○二一年十一月七日于长安

雷明85639720

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