数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 4065|回复: 9

线性不定方程正整数解分析

[复制链接]
发表于 2021-11-9 12:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
线性不定方程正整数解分析
近期,在认真研究了白新岭先生的3抽2、5抽3、7抽4直至15抽8等线性不定方程正整数解的组数构成各个博贴,从中悟出一些道理。

一、线性不定方程正整数解
x+y=N是最简单的一个二元线性不定方程,2个变量x和y,1个常数项N,两变量的系数都是1;
如果对变量x和y的取值范围不做如何限定,则该二元线性不定方程有无穷多组解;
如果限定常数项N是整数(正整数、零和负整数),变量x和y的取值范围也是整数,则二元线性不定方程仍有无穷多组解;
如果限定常数项N是正整数,变量x和y的取值范围也是正整数,则二元线性不定方程的解仅有有限组,这正是我们要研究的课题。

本文只研究线性不定方程是正整数解的组数问题。
给定常数项N等于1,二元线性不定方程x+y=1无解;N=2,有1组解x=1,y=1;N=3,有2组解x=1,y=2和x=2,y=1;N=4,有3组解,N=1+3,2+2,3+1;……
对于三元线性不定方程x+y+z=N,当N=1和2时不定方程无解;N等于3时有1组解x=1,y=1,z=1;N等于4时有3组解x=1,y=1,z=2; x=1,y=2,z=1; x=2,y=1,z=1;……

啊!原来线性不定方程解如此简单,它本是一个初中或小学的课题呀!
然而如果再增加一些限定条件,解的组数还有这么简单吗?
 楼主| 发表于 2021-11-9 12:10 | 显示全部楼层
二、3抽1之二元线性不定方程是否全有正整数解?
限定二元线性不定方程x和y的取值只能是1,4,7,10……,即模3余1的正整数;x+y只能是2,5,8,11……,即模3余2的正整数;
当常数项N等于1,2,3,4……时,解的组数分别是0,1,0,0,2,0,0,3,0,0,4……

同样限定二元线性不定方程x和y的取值只能是2,5,8,11……,即模3余2的正整数;x+y只能是4,7,10……,即模3余1的正整数(1除外);
当常数项N等于1,2,3,4……时,解的组数分别是0,0,0,1,0,0,2,0,0,3,0,0,4……

限定二元线性不定方程x和y的取值只能是3,6,9……,即模3余1的正整数;x+y只能是6,9,12……,即模3余0的正整数(3除外);
当常数项N等于1,2,3,4……时,解的组数分别是0,0,0,0,0,1,0,0,2,0,0,3,0,0,4……

3抽1共3种组合,以全部述及,x+y的和都无法遍历(覆盖)全体正整数;或者说3抽1之二元线性不定方程各有2/3的正整数N无解。

三、3抽2之二元线性不定方程是否全有正整数解?
限定二元线性不定方程x和y的取值只能是1,2,4,5,7,8……,即模3余1和2的正整数;x+y可以是2,3,4,5……,即除1以外的全体正整数;
当常数项N等于1,2,3,4……时,解的组数分别是0,1,2,1,2,4,2,3,6,3,4,8……
x \ y        1        2        4        5        7        8        10        11
1        2        3        5        6        8        9        11        12
2        3        4        6        7        9        10        12        13
4        5        6        8        9        11        12        14        15
5        6        7        9        10        12        13        15        16
7        8        9        11        12        14        15        17        18
8        9        10        12        13        15        16        18        19
10        11        12        14        15        17        18        20        21
11        12        13        15        16        18        19        21        22

N        1        2        3        4        5        6
解组数        0        1        2        1        2        4
                                               
N        7        8        9        10        11        12
解组数        2        3        6        3        4        8

限定x和y的取值范围是模3余1和3≡0,或模3余2和3≡0,也有相同的现象出现,
3抽2之二元线性不定方程除N=1以外都有解,且解的组数成规律性分布。
可以简单地说“3抽2全有解”;既是说3抽2之二元线性不定方程全部都有正整数解。

3抽3——x和y可以任意取全部正整数,限定条件已取消,N的值当然能遍历全体正整数了(1除外),对此种情况不做讨论。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-9 12:13 | 显示全部楼层
四、3抽1之二元线性不定方程是否全有正整数解问题之2?
改换限定条件,限定变量x和yN的取值范围,再限定常数项N的取值范围。
限定二元线性不定方程常数项N的取值只能是1,4,7,11……,即模3余1的正整数;常数项N取相应周期的任意正整数;
3抽1之二元线性不定方程都有正整数解吗?

仿白新岭先生的计算程序得到:
序1        1        4                                       
mod(n,3)        at        b        1周        2周        3周        4周        5周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        1        2        3        4        5
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        1        0        1        2        3        4        5
亦即x+y=1,4,7……时均无解(1→→→行数据);x+y=2,5,8……时分别有1,2,3……组正整数解(2→→→行数据);x+y=3,6,9……时也均无解(3→→→行数据)。

改取常数项N=2,5,8……之有无解的情况见序2表:
序2        2        5                                       
mod(n,3)        at        b        1周        2周        3周        4周        5周
1→→→        1        -1        0        1        2        3        4
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        1        -1        0        1        2        3        4

改取常数项N=3,6,9……之有无解的情况见序3表:
序3        3        6                                       
mod(n,3)        at        b        1周        2周        3周        4周        5周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        0        0        0        0        0        0        0
3→→→        1        -1        0        1        2        3        4
一周汇总        1        -1        0        1        2        3        4

简单地说3抽1之二元线性不定方程各有2/3的正整数N无解,只有1/3的正整数N有解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-9 12:14 | 显示全部楼层
五、3抽2之二元线性不定方程是否全有正整数解问题之2?
限定二元线性不定方程常数项N的取值只能是1,2,4,5,7,8……,即模3余1和2的正整数;常数项N取相应周期的任意正整数;
哪些不定方程有解?解的组数又是多少?
该类问题才是白新岭先生研究之课题。
N=1,无解;
N=2,二元线性不定方程x+y=2有1组解:2=1+1;
N=4,有3组解:4=1+3=2+2=3+1;
N=5,有4组解:5=1+4=2+3=3+2=4+1;
N=7,有6组解:7=1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1;
N=8,有7组解:8=1+7=2+6=3+5=4+5=5+3=6+2=7+1;
……
类似的,取N为模3余1和3≡0的正整数,或者模3余2和3≡0的正整数,二元线性不定方程x+y=N都有解。

可以简单地说“3抽2全有解”;既是说3抽2之二元线性不定方程全部都有正整数解。

序1        1        2        4        5                       
mod(n,3)        at        b        1周        2周        3周        4周        5周
1→→→        1        -1        0        1        2        3        4
2→→→        1        0        1        2        3        4        5
3→→→        2        0        2        4        6        8        10
一周汇总        4        -1        3        7        11        15        19

序2        1        3        4        6                       
mod(n,3)        at        b        1周        2周        3周        4周        5周
1→→→        2        -2        0        2        4        6        8
2→→→        1        0        1        2        3        4        5
3→→→        1        -1        0        1        2        3        4
一周汇总        4        -3        1        5        9        13        17

序3        2        3        5        6                       
mod(n,3)        at        b        1周        2周        3周        4周        5周
1→→→        1        -1        0        1        2        3        4
2→→→        2        -2        0        2        4        6        8
3→→→        1        -1        0        1        2        3        4
一周汇总        4        -4        0        4        8        12        16

序3表之各行的1周、2周、3周、4周、5周之数字0,1,2,3,4(正整数解的组数)构成分析:
本工况x,y的取值范围是:2,3,5,6,8,9,10,11……
N等于1,2,3时均无解,见1周下的0,0,0;N等于4,5,6时分别有1,2,1组解(4=2+2,5=2+3=3+2,6=3+3),见2周下的1,2,1;
N等于7,8,9时分别有2,4,2组解(7=2+5=5+2,8=2+6=3+5=5+3=6+2,9=3+6=6+3),见3周下的2,4,2;……

其余表的数据构成和含义与此完全相同。

回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-9 12:16 | 显示全部楼层
(接上楼)
又例:5抽2之“序1”表
5抽2之二元不定方程组之正整数解组数
序1        1        2        6        7                       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        0        0        0        0        0        0        0
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→0        0        0        0        0        0        0        0
一周汇总        4        0        40        44        48        52        56

变量x和y的取值范围是:1,2,6,7,11,12,16,17,21,22……
10周时常数项取值分别为46,47,48,49,50,
x+y=46,27,48,49,50时二元不定方程的正整数解组数分别是:0,10,20,10和0组:
x+y=46:46模5余1,两模5余1和2正整数的和只能是模5余2,3,4的正整数,不能是模5余1的46,本不定方程无解;
同样x+y=50:50模5余5≡0,两模5余1和2正整数的和只能是模5余2,3,4的正整数,不能是模5余0的5≡0,本不定方程也无解;
x+y=47有10组正整数解:1+46,6+41,11+36,16+31,21+26,26+21,31+16,36+11,41+6,46+1;
x+y=48有10组正整数解:1+47,2+46,6+42,7+41,11+37,12+36,16+32,17+31,21+27,22+26,
26+22,27+21,31+17,32+16,36+12,37+11,41+7,42+6,46+2,47+1;
x+y=49有10组正整数解:2+47,7+42,12+37,17+32,22+27,27+22,32+17,37+12,42+7,47+2。

再例:5抽3之“序1”表
5抽3之二元不定方程组之正整数解组数
序1        1        2        3        6        7        8       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        3        0        30        33        36        39        42
5→→0        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        9        -1        89        98        107        116        125

变量x和y的取值范围是:1,2,3,6,7,8,11,12,13,16,17,18,21,22,23……
10周时常数项取值分别为46,47,48,49,50,
x+y=46,27,48,49,50时二元不定方程的正整数解组数分别是:9,10,20,30和20组:
解的构成从略。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-9 12:17 | 显示全部楼层
六、相邻周期二元线性不定方程正整数解的关系
白新岭先生已经推导出二元线性不定方程正整数解的组数为at+b,式中t是周数,各工况下系数a和b各不相同。
但在特定模式(序号)下系数a和b是相同的,第t+1周不定方程的解数与第t周不定方程的解数等于
[a*(t+1)+b]-[a*t+b]=a;
仍以5抽3之“序1”为例:
序1        1        2        3        6        7        8       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        3        0        30        33        36        39        42
5→→0        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        9        -1        89        98        107        116        125

二元不定方程相邻两周期正整数解的组数差(增量)等于该不定方程的系数a:
mod(n,5)        a        11-10        12-11        13-12        14-13
1→→→        1        1        1        1        1
2→→→        1        1        1        1        1
3→→→        2        2        2        2        2
4→→→        3        3        3        3        3
5→→0        2        2        2        2        2
一周汇总        9        9        9        9        9

对于三元不定方程相邻两周期正整数间的组数差等于:
[a*(t+1)^2+b*(t+1)+c]-[a*t^2+b*t+c]=[at^2+2at+a+bt+b+c]-[at^2+bt+c]=2at+a+b;
表观上就看不出它们的相互关系了,三元以上关系更复杂,无比较必要了。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-9 12:19 | 显示全部楼层
七、相邻序号二元线性不定方程正整数解的关系
还以5抽3为例:
序1        1        2        3        6        7        8       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        1        -1        9        10        11        12        13
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        2        0        20        22        24        26        28
4→→→        3        0        30        33        36        39        42
5→→0        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        9        -1        89        98        107        116        125

序2        1        2        4        6        7        9       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        2        -2        18        20        22        24        26
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        3        -1        29        32        35        38        41
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        9        -3        87        96        105        114        123

两模式的抽取数字仅1个数字不同。
二元不定方程相邻两序号正整数解的组数差(增量)等于两不定方程的系数(a2-a1)t+(b2-b1):
mod(n,5)        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        9        10        11        12        13
2→→→        0        0        0        0        0
3→→→        9        10        11        12        13
4→→→        -20        -22        -24        -26        -28
5→→→        0        0        0        0        0
一周汇总        -2        -2        -2        -2        -2

如10周下的第1个数字9=(2-1)*10+[(-2)-(-1)]=10-1
如果两不定方程正整数解的系数有一个相同,组数差的变换就异常明显了;
如果两不定方程正整数解的两个系数都相同,组数差都是0,即解的组数相等。
如果两模式的抽取数字2个数字都不同,就看不出它们之间的明显关系了。

对于三元不定方程相邻两周期正整数间的组数差等于(a2-a1)*t^2+(b2-b1)*t+(c2-c1);
表观上很难看不出它们的相互关系了,三元以上关系更复杂,无比较必要了。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-9 12:22 | 显示全部楼层
八、二元线性不定方程正整数解的组数计算
已经知道二元线性不定方程x+y=N的解的组数等于at+b,注意这里求出的仅是组数,不是正整数解;
计算式中t是周期数,a和b是系数。

系数如何求?
(一)、以5抽3序2为例,首先算出2个周期的抽取数字1,2,4和7,8,9;
(二)、列表计算出6个数字两两相加之和;
序2        1        2        4        6        7        9
1        2        3        5        7        8        10
2        3        4        6        8        9        11
4        5        6        8        10        11        13
6        7        8        10        12        13        15
7        8        9        11        13        14        16
9        10        11        13        15        16        18
(三)、统计表中"和数"区域中和等于1,2,3,……10的个数分别是0,1,2,1,2,2,2,5,2,4;
(四)、将个数分成两组0,1,2,1,2和2,2,5,2,4;
(五)、列出5个二元不定方程组:
a1+b1=0; a1*2+b1=2;
a2+b2=1; a2*2+b2=2;
a3+b3=2; a3*2+b3=5;
a4+b4=1; a4*2+b4=2;
a5+b5=2; a5*2+b5=4。
(六)、分别解5个二元不定方程组,得:
a1=2,b1=-2; a2=1,b2=0; a3=3,b3=-1; a4=1,b4=0; a5=2,b5=0。
(七)、给定不同的周期是t,带入不同的系数即得该周期常数项N分别等于(t-1)*5+1,2,3,4,5的二元线性不定方程的正整数解的组数。
5抽3之二元不定方程
序2        1        2        4        6        7        9       
mod(n,5)        at        b        10周        11周        12周        13周        14周
1→→→        2        -2        18        20        22        24        26
2→→→        1        0        10        11        12        13        14
3→→→        3        -1        29        32        35        38        41
4→→→        1        0        10        11        12        13        14
5→→→        2        0        20        22        24        26        28
一周汇总        9        -3        87        96        105        114        123
x+y=N的正整数解组数及系数a,b的值
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-9 15:30 | 显示全部楼层
(接上楼)
(八)、具体解的构成分析
以1→→→行为例,10-14周下的数字分别是18,20,22,24,26,按规定它们应是x+y=46,51,56,61,66的正整数解的组数,仔细清单一下看一看对不对。
x        10y        11y        12y        13y        14y        10周        11周        12周        13周        14周
N        46        51        56        61        66        —        —        —        —        —
1        46        51        56        61        66        0        0        0        0        0
2        44        49        54        59        64        2        2        2        2        2
4        42        47        52        57        62        4        4        4        4        4
6        41        46        51        56        61        0        0        0        0        0
7        39        44        49        54        59        7        7        7        7        7
9        37        42        47        52        57        9        9        9        9        9
11        36        41        46        51        56        0        0        0        0        0
12        34        39        44        49        54        12        12        12        12        12
14        32        37        42        47        52        14        14        14        14        14
16        31        36        41        46        51        0        0        0        0        0
17        29        34        39        44        49        17        17        17        17        17
19        27        32        37        42        47        19        19        19        19        19
21        26        31        36        41        46        0        0        0        0        0
22        24        29        34        39        44        22        22        22        22        22
24        22        27        32        37        42        24        24        24        24        24
26        21        26        31        36        41        0        0        0        0        0
27        19        24        29        34        39        27        27        27        27        27
29        17        22        27        32        37        29        29        29        29        29
31        16        21        26        31        36        0        0        0        0        0
32        14        19        24        29        34        32        32        32        32        32
34        12        17        22        27        32        34        34        34        34        34
36        11        16        21        26        31        0        0        0        0        0
37        9        14        19        24        29        37        37        37        37        37
39        7        12        17        22        27        39        39        39        39        39
41        6        11        16        21        26        0        0        0        0        0
42        4        9        14        19        24        42        42        42        42        42
44        2        7        12        17        22        44        44        44        44        44
46        1        6        11        16        21        0        0        0        0        0
47        0        4        9        14        19        0        47        47        47        47
49        0        2        7        12        17        0        49        49        49        49
51        0        1        6        11        16        0        0        0        0        0
52        0        0        4        9        14        0        0        52        52        52
54        0        0        2        7        12        0        0        54        54        54
56        0        0        1        6        11        0        0        0        0        0
57        0        0        0        4        9        0        0        0        57        57
59        0        0        0        2        7        0        0        0        59        59
61        0        0        0        1        6        0        0        0        0        0
62        0        0        0        0        4        0        0        0        0        62
64        0        0        0        0        2        0        0        0        0        64
66        0        0        0        0        1        0        0        0        0        0
解数        0        0        0        0                18        20        22        24        26
表中的0仅起占位符的左右,大于0的数字是不定方程解的变量x,变量y的值没有直接显示,请查看10y-14y列相应的数字。
例10周下的第1个大于0的数字2表示x+y=46的一组解是2+44。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-9 15:32 | 显示全部楼层
(接上楼)
再以3→→→行为例,10-14周下的数字分别是29,32,35,38,41,按规定它们应是x+y=48,53,58,63,68的正整数解的组数,仔细清单一下看一看对不对。
x        10y        11y        12y        13y        14y        10周        11周        12周        13周        14周
N        48        53        58        63        68        —        —        —        —        —
1        47        52        57        62        67        1        1        1        1        1
2        46        51        56        61        66        2        2        2        2        2
4        44        49        54        59        64        4        4        4        4        4
6        42        47        52        57        62        6        6        6        6        6
7        41        46        51        56        61        7        7        7        7        7
9        39        44        49        54        59        9        9        9        9        9
11        37        42        47        52        57        11        11        11        11        11
12        36        41        46        51        56        12        12        12        12        12
14        34        39        44        49        54        14        14        14        14        14
16        32        37        42        47        52        16        16        16        16        16
17        31        36        41        46        51        17        17        17        17        17
19        29        34        39        44        49        19        19        19        19        19
21        27        32        37        42        47        21        21        21        21        21
22        26        31        36        41        46        22        22        22        22        22
24        24        29        34        39        44        24        24        24        24        24
26        22        27        32        37        42        26        26        26        26        26
27        21        26        31        36        41        27        27        27        27        27
29        19        24        29        34        39        29        29        29        29        29
31        17        22        27        32        37        31        31        31        31        31
32        16        21        26        31        36        32        32        32        32        32
34        14        19        24        29        34        34        34        34        34        34
36        12        17        22        27        32        36        36        36        36        36
37        11        16        21        26        31        37        37        37        37        37
39        9        14        19        24        29        39        39        39        39        39
41        7        12        17        22        27        41        41        41        41        41
42        6        11        16        21        26        42        42        42        42        42
44        4        9        14        19        24        44        44        44        44        44
46        2        7        12        17        22        46        46        46        46        46
47        1        6        11        16        21        47        47        47        47        47
49        0        4        9        14        19        0        49        49        49        49
51        0        2        7        12        17        0        51        51        51        51
52        0        1        6        11        16        0        52        52        52        52
54        0        0        4        9        14        0        0        54        54        54
56        0        0        2        7        12        0        0        56        56        56
57        0        0        1        6        11        0        0        57        57        57
59        0        0        0        4        9        0        0        0        59        59
61        0        0        0        2        7        0        0        0        61        61
62        0        0        0        1        6        0        0        0        62        62
64        0        0        0        0        4        0        0        0        0        64
66        0        0        0        0        2        0        0        0        0        66
68        0        0        0        0        1        0        0        0        0        0
解数        0        0        0        0        0        29        32        35        38        40
表中的0仅起占位符的左右,大于0的数字是不定方程解的变量x,变量y的值没有直接显示,请查看10y-14y列相应的数字。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-11 04:17 , Processed in 0.102016 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表