设 A=XΛX^(-1)，Λ=diag(λ1,λ2，…,λn)，证明 (A-λ1I)(A-λ2I)…(A-λnI)=O

wufaxian

请看上题，两个问题：

第一，题干(通过红色竖线将题干分成两部分)，第二部分什么意思？把A代入多项式，代替λ,p(λ)=det(A-A)，显然等于0，那还证什么呢。这跟凯利 汉密尔顿定理有什么关系？出题人想说明什么呢？

第二，答案第一部分的说明有个关键前提条件没有说明。A可以对角化，那么A-λ\(_{1}\)I,是否就一定可以对角化？如果后者不必然可以对角化，那么这条证明的道路就走不通了。

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-11-13 00:27

谢谢lu老师的详细讲解。你的证明我觉得，我看懂了。但是证明的关键一步
\(\begin{equation}
\begin{gathered}
\left(A-\lambda_{1} I\right)\left(A-\lambda_{2} I\right) \cdots\left(A-\lambda_{n} I\right) \\
=\left(X \Lambda X^{-1}-\lambda_{1} X I X^{-1}\right)\left(X \Lambda X^{-1}-\lambda_{2} X I X^{-1}\right) \cdots\left(X \Lambda X^{-1}-\lambda_{n} X I X^{-1}\right)
\end{gathered}
\end{equation}\)

如果要成立，就首先要证明
A-λ\(_{j}\)I=X(\(\Lambda\)-\(\lambda_{j}\)I)X\(^{-1}\)
如果要让上面个的等号成立。就需要证明
A=X(\(\Lambda\))X\(^{-1}\)  以及λ\(_{j}\)I=X(\(\lambda_{j}\)I)X\(^{-1}\)
第一个等式显然成立。但是第二个等式(红色)成立么？A=x\(_{j}\)*\(\lambda_{j}\)*\(x_{j }^{-1 }\)是成立的。但是\(\lambda_{j}\)I主元全是\(\lambda_{j}\)元素，这就会出现A=x\(_{1}\)*\(\lambda_{j}\)*\(x_{1}^{-1 }\) 出现，问题是这个等式成立么？


或者换个思路。将A-λ\(_{j}\)I看作一个完整的单一矩阵。那么(\(\Lambda\)-\(\lambda_{j}\)I)是他的特征值矩阵。如果A-λ\(_{j}\)I是一个可以对角化的矩阵。那么就存在A-λ\(_{j}\)I=X(\(\Lambda\)-\(\lambda_{j}\)I)X\(^{-1}\) 。但是这个等式成立需要三个条件，或者说有三个疑问：
1、A-λ\(_{j}\)I是一个可对角化的矩阵么？
2、A-λ\(_{j}\)I的特征值矩阵就一定是(\(\Lambda\)-\(\lambda_{j}\)I)？
3、X是A的特征向量矩阵。那么他也一定是A-λ\(_{j}\)I的特征向量矩阵么？

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-11-13 00:27

关于主题的第一个问题涉及题干的内容是“我们是把矩阵A代入多项式p(\(\lambda\)) = det( A - \(\lambda\)I)的数字\(\lambda\)，”按照我的理解P(A)就变成了=det(A-AI)

你的回复中说的：


我没有看懂特别是第一行(\(\lambda\)-\(\lambda_{1}\))(\(\lambda\)-\(\lambda_{2}\))(\(\lambda\)-\(\lambda_{3}\))…………（\(\lambda\)-\(\lambda_{n}\)）这应该等于det(\(\lambda\)I-\(\Lambda\))。但是你为什么说他等于det(\(\lambda\)I-A)呢？难道det(\(\lambda\)I-\(\Lambda\))=det(\(\lambda\)I-A)？？

luyuanhong

（1） λjI 表示用一个常数 λj 乘以单位矩阵 I ，而 I = XX^(-1) = XIX^(-1) 。

     且因为一个常数乘以一个矩阵，等于这个矩阵乘以这个常数（即乘法可交换），所以

    λjI = λjXIX^(-1) = XλjIX^(-1) = X(λjI)X^(-1) 。

   A-λjI = XΛX^(-1)-X(λjI)X^(-1) = = X(Λ-λjI)X^(-1) 。

（2）p(λ) = det(λI-A) 称为“特征多项式”，它是一个以 λ 为变量的 n 次多项式。

    特征多项式有 n 个根，这 n 个根 λ1,λ2,…,λn 就是 A 的 n 个特征值。

    由代数理论可知，当 λ1,λ2,…,λn 是 n 次多项式 p(λ)=det(λI-A）的 n 个根时，必有
  
     p(λ) = det(λI-A) = (λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn) 。

（3）第 1 楼中说：“把矩阵 A 代入多项式 p(λ) = det(λI-A) 的数字 λ”，这话说得不妥当，

    很容易引起误会。正确的说法，应该是：

    对应于以 λ 为变量的多项式  p(λ) = det(λI-A) = (λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn) 。

    可另外写出一个矩阵 A 的多项式    p(A) = (A-λ1I)(A-λ2I)…(A-λnI) 。

    两者的关系，并不是简单的“代入”的关系，而是一种形式上对应的关系。

    即把多项式 p(λ) 中的变量 λ 对应变成矩阵 A ，把多项式 p(λ) 中的常数 λ1,λ2,…,λn

    对应变成矩阵 λ1I,λ2I,…,λnI 。

    多项式 p(λ) 也可以展开成 p(λ) = λ^n + k(1)λ^(n-1) + … + k(n-1)λ + k(n) 。

    与它对应的 p(A) 为         p(A) = A^n + k(1)A^(n-1) + … + k(n-1)A + k(n)I 。

    可以看出，两者的关系，也不是简单的“代入”的关系，而是一种形式上对应的关系。

    其中的常数项 k(n) ，要对应变成矩阵 k(n)I 。