恩格斯的论述及其应用

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恩格斯《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节中，48页讲到的“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”[1]；以及在《自然辩证法》228页恩格斯讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[2]”。事实上，现行数学研究中的 “点的无有大小、线没有粗细”的概念是忽略了测量、绘图工作中，“点出的点足够小”抽象出来的理想概念，欧几里德平行线公理也是如此，所以就存在着“已知三角形三边长，无法算出三个角和绝对准等于平角的现象”。无穷（无限）是从现实数量问题研究中抽象出来的“无有穷尽、无有终了”的术语，所以，涉及这这个术语的无穷数列“既具有无限延续下去，又具有永远延续不到底的两个事实”，所以现行数学教科书中“把无穷集合当做正常集合”的做法造成了许多无法解决的难题与悖论，例如：无尽小数本来是理想实数的针对误差界序列 {1/10^n}得到近似值数列，这些数列具有写不到底、算不到底的性质，但现行数学理论，不顾“无线是纯粹是由有限组成的的事实”，提出了“无尽小数是实数的定义”，这样就造成了布劳威尔提出的反例与康托尔提出的连续统假设的大难题。素数集合、自然数集合都是写不到底的想想集合，把这些无穷集合看做完成了的整体，就造成了无法解决的的哥德巴赫猜想问题。这些问题就是恩格斯说的：“全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。”所以，必须使用有尽小数近似替换无尽小数的近似做法消除布劳威尔反例。对哥德巴赫猜想无法实现的问题，只能以研究小于某些自然数A以下的所有偶数是两个素数和的问题来替换。即需要使用恩格斯的“限纯粹是由有限组成的”的说法去解决。，