介绍一种新的几何学-汇心几何学

宇宙无理数

汇心几何学的英文名称是Intercenter Geometry，下载网址是：arxiv.org/abs/2107.08388

汇心几何学中文9版的下载地址为: https://www.researchgate.net/profile/Daiyuan-Zhang.

汇心几何学(Intercenter Geometry)目前的最新版是V9版. 从最初的第一版发展到如今的第九版, 内容发生了很大变化, 增加了许多新的内容. 下面对V9版做一个简要介绍. 本文涉及到的定理编号引自最新的V9版.

汇心几何学的理念是: 平面上的几何量用该平面上一个给定的三角形的三条边的边长来表示; 空间中的几何量用该空间中一个给定的四面体的六条棱的棱长来表示. 在汇心几何学中, 采用统一的向量方法解决了三角形和四面体的一些几何量的计算问题. 在几何学与几何不等式方面得到了许多新的定理和公式. 特别是, 汇心几何学解决了一些长期以来欧氏几何学和解析几何学(坐标几何学)没有解决的问题, 例如四面体的重心和内心之间的距离等等. 汇心几何学丰富了几何学的内容, 不仅对开拓数学的研究领域, 探索数学研究的新思想、新方法具有理论意义, 也对弘扬创新精神具有积极的意义. 汇心几何学的丰硕成果也具有实际应用价值.

首先提出一个问题: 给定一个四面体的六条棱的棱长, 如何计算该四面体的重心与内心之间距离? 这个问题无论使用欧氏几何学方法还是使用解析几何学方法都很难得到结果. 这是它们的缺点所决定的.

是否存在一种几何学, 既保留欧氏几何学与解析几何学的优点, 同时又克服两者的缺点呢？汇心几何学就是一次尝试.

在欧氏几何学中, 并没有将空间的点与一组实数建立对应的关系, 因此很难采用建立在实数运算基础之上的代数运算理论和方法来处理诸如长度、面积等等的一些度量问题. 无法与代数学建立有机联系是欧氏几何学的“软肋”, 或者说是欧氏几何学的“天然缺陷”. 欧氏几何（无论是平面几何还是立体几何）的另一个缺陷就是：许多问题的求解都表现得相当个性化, 通常是一题一策, 需要较高的解题技巧, 缺少一般的统一方法.

解析几何学引入了点的坐标, 将空间的基本要素“点”与实数建立了对应关系, 从而能够采用代数方法研究几何学. 由于采用了代数方法, 使得原本在欧氏几何学中难以计算的一些度量问题可以得到解决. 采用解析几何学方法, 首先就需要建立坐标系, 而坐标系的建立带有很大的人为因素. 对于不同的坐标系, 点的坐标是不同的. 即使是同一类坐标系, 坐标原点位置的不同也会导致空间点的坐标的不同. 与欧氏几何相比, 解析几何虽然能够比较方便地计算出一些几何量, 但是由于解析几何的基本参数是点的坐标, 其计算结果往往只包含点的坐标, 而不会包含像长度, 面积等等一些基本的几何量, 这就使得解析几何的计算结果不够“自然”. 例如, 计算三角形的面积, 解析几何方法通常会建立坐标系, 然后选择三角形的顶点坐标为变量(参数)进行计算, 所得到的结果也是三个点的坐标的函数, 与三角形三条边的边长似乎没有直接的联系. 从这三个点的坐标的函数很难想象出会有海伦公式那样优美对称的结果, 这是因为海伦公式这样的表达形式, 其基本参数是边长这样的“自然”量, 而不是抽象的点的坐标. 尽管通过对解析几何的计算结果进行代数运算, 可以将坐标表示的结果转换成由边长、面积等参数表示的几何量, 但是通常需要通过复杂而困难的代数运算. 特别是, 如果没有已知结果的提示(例如已知的海伦公式等), 代数运算就会显得很茫然, 没有目标. 总之, 解析几何的计算结果通常看不到由边长、面积等“自然”参数来表示的一些几何量之间的内在关系, 更难以体会这些“自然”量之间的对称美. 采用解析几何计算出来的几何量仿佛披上了一层人为的神秘面纱, 掩盖了原本优美迷人的“庐山真面目”.

现在来看看汇心几何学的一个结论. 给定一个四面体, 则该四面体的重心\(G\)与内心\(I\)之间距离的平方为(见汇心几何学V9版中的定理26.4):
\[G{{I}^{2}}=-\frac{1}{{{S}^{2}}}\left( \begin{aligned}
        & \left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)A{{B}^{2}}+\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)A{{C}^{2}} \\
        & +\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)A{{D}^{2}}+\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)B{{C}^{2}} \\
        & +\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)B{{D}^{2}}+\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)C{{D}^{2}}  
\end{aligned} \right).\]
其中\(S^A\)、\(S^B\)、\(S^C\)、\(S^D\)分别是四面体\(ABCD\)的四个顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)的对面三角形的面积；\(S\)是四面体\(ABCD\)的表面积；\(AB\)、\(AC\)、\(AD\)、\(BC\)、\(BD\)、\(CD\)分别是四面体\(ABCD\)的六条棱的棱长；\(\overline{S}\)是四面体\(ABCD\)的表面积的平均值, 即
\[\bar{S}=\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}\left( {{S}^{A}}+{{S}^{B}}+{{S}^{C}}+{{S}^{D}} \right).\]       
以上公式无论使用欧氏几何学还是使用解析几何学方法都是很难得到的.

\(GI^2\)的表达式说明: 四面体的重心和内心之间的距离可以被该四面体的四个面的面积和六条棱的棱长来表示, 这些量都是四面体的“自然”参数, 不包含任何与坐标相关的信息. 四面体的四个面都是三角形，其面积可以利用海伦公式写成边长的函数. 所以，只要给定一个四面体的六条棱的棱长, 就可以计算出该四面体的重心与内心之间距离. 汇心几何学得到的这个创新公式确实对称优美.

以上仅仅是一个例子. 众所周知, 两个点之间的向量(或距离)是一切几何量的基础, 因此, 寻求两个点之间的向量(或距离)就成了几何学研究的重头戏. 汇心几何学能够在统一的观点下很好处理像三角形或四面体的重心与内心之间的向量、距离之类的问题. 具体说来, 汇心几何学能够在统一的观点下处理三角形的七个心(重心, 内心, 垂心, 外心和三个旁心), 四面体的重心, 内心, 外心, 三面角内的旁心(四个)之间的向量, 距离等几何量, 并且将这些几何量用三角形的三条边的边长或四面体六条棱的棱长来表示. 用边长或棱长表示的几何量便于揭示几何量之间的内在联系. 这些用统一观点推导出来的公式很容易程序化, 非常容易在计算机上实现. 因此在计算机, 人工智能, 物理, 化学等领域都有潜在的应用. 不仅如此, 三角形的边长和四面体的棱长都是最“直接”, 最“自然”, 最“亲民”的参数, 也是最容易测量的参数. 与用顶点坐标表示的解析几何公式相比, 用边长或者棱长表示的几何量的公式将更加受到工程师的青睐, 因此会有广泛的应用. 汇心几何学的这些成果是欧氏几何学和解析几何学无法做到的.

除此以外, 汇心几何学还得到了一些几何学的新定理, 也得到了一些新的几何不等式.

当然, 汇心几何学不是万能的. 在我们的地球村里不存在能够求解所有数学问题的万能方法, 但是, 追求某一类问题的系统的一般求解方法一直以来都是数学家们梦寐以求的目标.

汇心几何学本身也需要进一步的发展和完善.

以上是根据个人理解介绍了汇心几何学, 是一家之谈. 欢迎其他学者补充完善.

随着汇心几何学版本的更新以及我对汇心几何学的理解的加深, 我会不定期更新这篇文章. 谢谢您的驻足!

宇宙无理数

Hello, World!

creasson

大约就是重心坐标吧

宇宙无理数

creasson 发表于 2021-11-11 13:50
大约就是重心坐标吧

不是重心坐标。

creasson

宇宙无理数 发表于 2021-11-11 14:12
不是重心坐标。

我相信是的

宇宙无理数

我仍然认为不是。首先，你提供的公式中，那些\(A_i\)是标量吧？其次，我在重心坐标的专著中不曾看到过我前面提到的那个四面体重心与内心之间距离的公式；最后，只能说恰巧汇心几何学中有些系数的确满足\(\sum_{ }^{ }\lambda_i=1\)，形式上与重心坐标有些类似，但并不能由此说明两者相同。

creasson

宇宙无理数 发表于 2021-11-11 16:09
我仍然认为不是。首先，你提供的公式中，那些\(A_i\)是标量吧？其次，我在重心坐标的专著中不曾看到过我前 ...

式中,\(P,Q,A_k\)所表示的是点，两点之差即是向量，利用向量内积导出距离计算式。

四面体的重心-内心距离式在一般书上也的确难以见到，但由这距离式是容易导出的。

又如， 四面体内心-外心距离：

\[O{I^2} = {R^2} - \frac{{{S_A}{S_B}A{B^2} + {S_A}{S_C}A{C^2} + {S_A}{S_D}A{D^2} + {S_B}{S_C}B{C^2} + {S_B}{S_D}B{D^2} + {S_C}{S_D}C{D^2}}}{{{{({S_A} + {S_B} + {S_C} + {S_D})}^2}}}\]

重心-外心距离：
\[O{G^2} = {R^2} - \frac{1}{{16}}(A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2})\]

creasson

刚再看了下，你的书中也有这两式。

宇宙无理数

一个三角形如果已知两条边的平方，通常无法求得第三条边的平方吧！！！还有，你前面说的公式里\(A_i\)是标量吧，请给个明确回复。

creasson

宇宙无理数 发表于 2021-11-11 17:01
一个三角形如果已知两条边的平方，通常无法求得第三条边的平方吧！！！还有，你前面说的公式里\(A_i\)是标 ...

单写\(A_i\)是表示点,   对任意维空间。 \({A_i}{A_j}\)记为两点之间的长度。

"一个三角形如果已知两条边的平方，通常无法求得第三条边的平方吧" ，当然如此，但不明白你这句话的所指。