ΔABC 中，CA=CB，P,M,N 分别在 AB,AC,CB 延长线上，NPM⊥ACM，PM=BC，求证：CM=BN+PN

uk702

如图，等腰三角形△CAB中，CA=CB，P是AB延长线上的一点，PM⊥AC于M且PM=BC，PM交BC的延长线于N，求证：CM=BN+PN。

据说是初二的考试题，求各种大招，不限于初二的知识。(一个小时内做出来的请举手，膜拜一下)

cgl_74

这道题是有问题的。
1、当等腰三角形底角<45度时，图形如题主所画。我用三角函数列等式，比较容易计算出来，得证（证略）
2、当当腰三角形底角>45度时，图形完全变了。画出图形就知道，该结论显然不成立。

uk702

cgl_74 发表于 2021-11-13 13:41
这道题是有问题的。
1、当等腰三角形底角45度时，图形完全变了。画出图形就知道，该结论显然不成立。

1）如图如图，请看图说话。
2）底角大于 45° 时，N 在 BC 上，而不是在延长线上，命题成立，如图所示。
3）若 P 在 BA 方向的延长线上，命题不成立，但估计引入有向线段的概念，想不难将之严谨得无懈可击，但我不想做这方面的尝试，要严谨自行严谨。
4）你是准备在考场上造反怎么的？

上面几个结论也可能不严谨，但我不会作更多的补充。

王守恩

\(记∠BAC=a\)
\(PM=\sin(a)\)
\(CM=\cos(a)-\sin(a)\)
\(BN=\frac{\cos(a)-\sin(a)}{\cos(2a)}-\sin(a\)
\(PN=\frac{(\cos(a)-\sin(a))\sin(2a)}{\cos(2a)}-\sin(a)\)
\(化简可得：CM-BN-PN=0\)

kanyikan

uk702

我憋了一个早上拿出来的证法，也一同放出来吧。

过M作LM//AP且LM=BP，则LBPM是平行四边形。
∠LBC=∠MNC，∠LCM=∠LBD=1/2∠MNC

延长BN于K使得NK=PN。
∠PKB=1/2∠PNB=1/2∠MNC
∴∠PKB=∠LCM

∵∠LMC=∠A=∠PBN，BP=LM，∠PKB=∠LCM
∴△LMC≌△PBK
∴CM=BK=BN+NK=BN+PN

luyuanhong

楼上 kanyikan 和 uk702 的解答很好！已收藏。

cgl_74

uk702 发表于 2021-11-13 15:15
1）如图如图，请看图说话。
2）底角大于 45° 时，N 在 BC 上，而不是在延长线上，命题成立，如图所示 ...

1、数学问题的讨论比较单纯，正误之间，以及是否严谨之间有明显的界限。
2、正因为数学单纯，所以少了很多口舌之争。像你说的“考场上想造反”，很难理解你说的场景。我早就不是学生了。我当学生的时候，数学老师都对我很喜欢，尊重，我为老师争取过很多荣誉的。
3、我在这个论坛，也做过一些错题。我都放那里了没删。人都会错，也没啥，态度要端正，严谨。
4、回到这道题本身，我补充下2种不同图形下的证明。由证明过程看，图形虽然不一样，但是代数表达式是很类似的。我猜想这可能是与几何学与群变换密切相关，我没仔细研究过。

引用一段对“几何学”的论述：

广泛地说,几何学就是数学里使用通常都约定是几何语言的那一部分,在那里诸如“点”“直线”“平面”“空间”“曲线”“球”“立方体”“距离”,还有“角”,这些词起了卓越的作用.但是,还有一个更深刻的观点,就是克菜因[V.57所主张的观点,认为变换才是这门学科的真正主题.所以,除了上面列举的那些词以外,还要加上“反射”“旋转”“平移”“拉伸”“剪切”和“投影”这些词,还有稍微不太清楚的概念,例如“保角映射”或者“连续变形”在§2.1中就讨论过,变换总是和群在一起,因为这个原因,几何学与群论就有密切的关系说真的,给定了一个变换群,就有一种相应的几何学在这种几何学里研究的就是那些不受这个群的变换影响的现象.特别是,若一个图形经过此群中的一个变换能够变成另一个图形,就说它们是等价的.不同的群当然会导出不同的等价概念,因此数学家们时常谈论到各种几何学,而不是把几何学当作一门铁板一块的单个学科.这一节就要简短地描述一下最重要的几何学以及与之相关的变换群

王守恩

cgl_74 发表于 2021-11-13 23:30
1、数学问题的讨论比较单纯，正误之间，以及是否严谨之间有明显的界限。
2、正因为数学单纯，所以少了很 ...

\(记∠CAB=a\ \ CA=\sin(a)\ \ AB=\sin(2a)\ \ BP=1-\sin(2a)\)

\(CM=\cos(a)-\sin(a)\)

\(BN=\frac{\cos(a)(1-\sin(2a))}{\cos(2a)}=\frac{1}{\cos(a)+sin(a)}-\sin(a)\)

\(PN=\frac{\sin(a)(1-\sin(2a))}{\cos(2a)}=\cos(a)-\frac{1}{\cos(a)+sin(a)}\)

\(CM=BN+PN\)

王守恩

kanyikan 发表于 2021-11-13 17:46

这算是练习吧。(5楼的图)
\(\frac{1^2+(BN+PN)^2+2(BN+PN)\sin(a)}{\cos^2(a)+\cos^2(a)-2\cos^2(a)\cos(90^\circ)}=1\)