求二阶非齐次微分方程 y”-3y’+2y = 7e^(2x) 的非齐次特解

wufaxian

请看上图红线部分，如果完全把左侧括号展开那么\(e^{2x}\)系数应该是4C-3C+2C=3C才对啊，题中为什么说左侧只剩下C\(e^{2x}\)？难道左侧不应该是3C \(e^{2x}\)么？

如图中黄色高亮区，面对特解包含在零解当中的情况，书中直接给出了乘x幂的方法，也没说为什么。从结果看是奏效的。不过感觉是天降公式。这么做的原因是什么呢？也许还有其他特解和齐次解冲突的情况，每种情况解决的方法都不一样吧？且针对求非齐次方程的特解，书中给了一张表，针对等号右边有限种情况，给出了特解的特解形式。学生要做的就是套公式求特解。既然是这样，何不直接用Matlab或mathematics求解非齐次二阶微分方程，套公式不就是机械的做题么所以前面黑体字部分更进一步的讨论是不是超出了微积分课程的范围了？

luyuanhong

Ce^(2x) 中的 C 表示它是一个常数，常数可以写成 C ，也可以写成 3C ，无所谓对不对。

问题的关键是，对这个微分方程来说，y = Ce^(2x) 或 y = 3Ce^(2x) ，都不是方程的非齐次解。

当 y = Ce^(2x) 时，y”-3y’+2y = 4Ce^(2x)-6Ce^(2x)+2Ce^(2c) = 0 ，不可能等于 7e^(2x)。

当 y = 3Ce^(2x) 时，y”-3y’+2y = 12Ce^(2x)-18Ce^(2x)+6Ce^(2c) = 0 ，也不等于 7e^(2x)。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-11-13 23:44
Ce^(2x) 中的 C 表示它是一个常数，常数可以写成 C ，也可以写成 3C ，无所谓对不对。

问题的关键是，对 ...

谢谢lu老师的讲解。
“ Ce^(2x) 中的 C 表示它是一个常数，常数可以写成 C ，也可以写成 3C ，无所谓对不对。”如果单独考虑Ce^(2x) 的系数是多少，我认为这么考虑是没有问题的。但正如你后面所说。Ce^(2x) 与特解无缘。特解只能是Cxe^(2x) ，可是Cxe^(2x)也是含有系数C的，这就发生了关联。既然一开始设特解为Cxe^(2x)，那么代入y’’ y’后按部就班求出C的数值解C=7/3代回到………

我刚发现代不回去，等式中xe^2x系数相加(4-6+2)后等于0C。我这么一想最后令C=7，yp=7xe^2x，更加找不到依据了

smx_208

特解的形式设的不对，应为r=2是对应齐次微分方程的解，因此对应的特解是cxe^2。