∠ABC=90°，P 在 BC 上，sin∠CBD=a，PF⊥BD，垂足为 F，已知 AB=k，求 AP-PF 最小值

mrcombo

请教各位这个问题要怎么下手呢 ，谢谢大家



答案为 \(k\sqrt{1-a^2}\)

王守恩

\(当\ ∠CBD+∠APB=90^\circ时，AP-PF\ 取得最小值\)
\(AP-PF=AF=k\cos∠CBD=k\sqrt{1-a^2}\)

波斯猫猫

题：∠ABC=90°，P 在 BC 上，sin∠CBD=a，PF⊥BD，垂足为 F，已知 AB=k，求 AP-PF 最小值 。

思路：设BP=x，PF=y，AP=z，则s=AP-PF=√（x∧2+a∧2）-ax，即s+ax=√（x∧2+a∧2）。

两边平方后整理得关于x的一元二次方程：（a∧2-1）x∧2+2asx+s∧2-k∧2=0  (0＜a＜1)。

因x＞0，故方程有实数解，即判别式非负，亦即4a∧2s∧2-4(a∧2-1)(s∧2-k∧2)≥0，

从而解得s≥k√(1-a∧2).

波斯猫猫

显然，AP⊥BD于 F时，AP-PF 有最小值AF，且AF=kcos∠CBD=k√﹙1-a∧2﹚.