又一个小擂台立起

费尔马1

解不定方程:
A^2019+B^2020+C^2021+D^2022=E^2023
求出其一组正整数解或解集通式?
A=4^a
B=4^b
C=4^c
D=4^d
E=4^e
也就是写出a、b、c、d、e的具体数字(若数字比较大，可以采用指数形式表示)。

费尔马1

一直到:A^2017+B^2018+C^2019+D^2020+E^2021+F^2022=G^2023还是有解的。
A^2023+B^2018+C^2019+D^2020+E^2021+F^2022=G^2017也是有解的。
A^2017+B^2018+C^2019+D^2020+E^2022+F^2023=G^2021也是有解的。

费尔马1

，，，，

yangchuanju

2的2000次方就600多位，3的2000次方就900多位，这样的5元不定方程可能要论万位，谁有精力计算它？

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-17 07:05
2的2000次方就600多位，3的2000次方就900多位，这样的5元不定方程可能要论万位，谁有精力计算它？

感谢各位老师关注！
解这类不定方程不需要解出具体的数字位数，可采用幂指数或科学记数法。只要有方法可解就行了。其答案形式如下:
解不定方程:
A^2020+B^2021+C^2022=D^2023
求出其一组正整数解或解集通式?
A=3^(8266912626k－1377137694)
B=3^(8262822120k－1376456280)
C=3^(8258735660k－1375775540)
D=3^(8254653240k－1375095473)
其中，k为正整数，当k取1时为最小解。
注，指数中的－号也可以变为+号，请老师们变为+号?谢谢。

费尔马1

又例，这个方程的指数较小，大家可以解之，谢谢！
解不定方程:
A^3+B^4+C^5+D^6=E^7
求出其一组正整数解或一组解集通式?
其答案形式为:
A=4^a
B=4^b
C=4^c
D=4^d
E=4^e
也就是写出a、b、c、d、e的具体数字(若数字比较大，可以采用指数形式表示)。

费尔马1

此题已经规定了答案形式，若是别的答案形式，即使答案对也不符合本题目要求。
至于数字大与小，解法是一样的，只要计算机的位数能满足就行了。
2楼的六项和不定方程，在解题过程中计算机的位数依然能满足，请老师们放心去解题吧，谢谢老师。

费尔马1

A=3^(8266912626k－1377137694)
这个数字，k可以是无穷大，所以其数位何止是万位啊！

yangchuanju

解个小的
又例，这个方程的指数较小，大家可以解之，谢谢！
解不定方程:
A^3+B^4+C^5+D^6=E^7
求出其一组正整数解或一组解集通式?
其答案形式为:
A=4^a
B=4^b
C=4^c
D=4^d
E=4^e
也就是写出a、b、c、d、e的具体数字。

3,4,5,6,7的最小公倍数是420，分别除以3,4,5,6,7得140,105,84,70,60就是解的指数的周期数。
最小公倍数        420
3        140
4        105
5        84
6        70
7        60

3,4,5,6的最小公倍数是60，
最小公倍数        60        倍数加1除以7
1        60        8.714285714
2        120        17.28571429
3        180        25.85714286
4        240        34.42857143
5        300        43
经试算当3,4,5,6的最小公倍数乘以5(=300)加1时是7的倍数，
用300分别除以3,4,5,6得100,75,60,50；301除以7的43就是解的指数中的非周期数，正的。
       
不定方程:       
A^3+B^4+C^5+D^6=E^7       
的解是：       
A=4^(140t+100)       
B=4^(105t+75)       
C=4^(84t+60)       
D=4^(70t+50)       
E=4^(60t+43)       
       
验算       
第1项        4^(420t+300)
第2项        4^(420t+300)
第3项        4^(420t+300)
第4项        4^(420t+300)
第5项        4^(420t+301)
4个4的420t+300次方和等于4的420t+301次方，式中t是自然数，不定方程解正确。       

yangchuanju

解不定方程:
A^2019+B^2020+C^2021+D^2022=E^2023

解：
2019,2020,2021,2022,2023的最小公倍数等于
5619268519270980
最小公倍数分别除以2019-2023得
除数        商数
2019        2783193917420
2020        2781816098649
2021        2780439643380
2022        2779064549590
2023        2777690815260
所得商数就是不定方程解的指数中的周期数。       

2019,2020,2021,2022的最小公倍数等于
2777690815260
最小公倍数的倍数分别乘以1,2,3……，倍数加1除以2023，整除出现在最小公倍数的1517倍处，
乘数        乘积        乘积加1模2023余数
1        2777690815260         5
2        5555381630520         9
3        8333072445780         13
1516        4210979275934160         2019
1517        4213756966749420         0

用277690815260*1517分别除以2019-2022；加1除以2023的商数就是解的指数中的非周期数，正的。
除数        商数
2019        2087051494180
2020        2086018300371
2021        2084986129020
2022        2083954978610
2023        2082924847627
不定方程的通解是
A=4^(2783193917420t+2087051494180)
B=4^(2781816098649t+2086018300371)
C=4^(2780439643380t+2084986129020)
D=4^(2779064549590t+2083954978610)
E=4^(2777690815260t+2082924847627)

t为自然数，当t=0时为不定方程最小解！