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P 是正方形 ABCD 外接圆 O 上一点,AP,BD 交于 E,BP,AC 交于 F,DE/EB=1/2,求 CF/FA

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发表于 2021-11-20 10:18 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 mrcombo 于 2021-11-20 13:42 编辑

大家好,請問這題要如何下手呢?



答案為\(\frac{1}{3}\) 謝謝各位幫忙

↓示意圖

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发表于 2021-11-20 14:17 | 显示全部楼层
赶快,要睡午觉.....

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高招!已收藏  发表于 2021-11-20 14:32
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发表于 2021-11-20 13:21 | 显示全部楼层
画个图帮助理解

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王守恩 + 20 很给力!

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发表于 2021-11-20 15:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-11-20 15:52 编辑

思路:1,设半径为3r,OE=m,OF=n,∠PAC=θ,由条件有正方形的对角线为6r。

2,由DE/EB=1/2,有(3r-m)/(3r+m)=1/2,即m=r。从而tanθ=r/(3r)=1/3。

3,n/(3r)=tan(45°-θ)=(1-tan45°)/(1+tan45°)=1/2,即n=3r/2。(同弧所对圆周角相等)

4, CF/FA=(3r-3r/2)/(3r+3r/2)=1/3。

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太妙了 感謝  发表于 2021-11-20 17:52
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发表于 2021-11-20 16:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-21 18:09 编辑

\(记OP=1,∠OPA=a,∠OPB=45^\circ-a\)

\(\frac{OF}{\sin(45^\circ-a)}=\frac{1}{\cos(45^\circ-a)},\ \ \ \frac{1}{\cos(a)}=\frac{1/3}{\sin(a)}\)

\(OF=\tan(45^\circ-a)=\frac{\tan45^\circ-\tan(a)}{\tan45^\circ+\tan(a)}=\frac{1-1/3}{1+1/3}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{OF}{\sin(45^\circ-a)}=\frac{1}{\cos(45^\circ-a)},\ \ \ \frac{1}{\cos(a)}=\frac{n/m}{\sin(a)}\ \ \ \ \ \ \ \ OF=\frac{m-n}{m+n}\)

题目改一下:DE/EB=1/2 改 DP/PC=1/2,其余不变。
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发表于 2021-11-20 20:22 | 显示全部楼层
思路:设∠PAC=θ,由正弦定理有DE/sin(45°-θ)=EA/sin45°=EB/sin(45°+θ),

即DE/EB=sin(45°-θ)/sin(45°+θ)=1/2,亦即tanθ=1/3。

类似地,有FC/sinθ=FB/sin45°=FA/sin(90°-θ),

即FC/FA=sinθ/sin(90°-θ)=tanθ=1/3。

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强!  发表于 2021-11-20 21:40
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发表于 2021-11-20 21:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 kanyikan 于 2021-11-20 13:25 编辑



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漂亮!感謝  发表于 2021-11-21 08:20
高!  发表于 2021-11-20 21:39
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发表于 2021-11-21 09:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2021-11-21 09:58 编辑

弯弯绕绕有点多。

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妙阿!謝謝回覆  发表于 2021-11-21 09:48
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发表于 2021-11-21 10:09 | 显示全部楼层


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牛!  发表于 2021-11-21 10:13
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发表于 2021-11-21 10:19 | 显示全部楼层
楼上 各位 的解答很好!已收藏。
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