变化一下赛题的条件

费尔马1

解不定方程，求正整数解集通式 :
15753X^13871+23785Y^38743=12383Z^78269
此题立个小擂台
无论什么样的答案形式都可以。

玉树临风

这种设密码解密码的游戏有什么好玩，极度不对称

费尔马1

玉树临风 发表于 2021-11-22 08:38
这种设密码解密码的游戏有什么好玩，极度不对称

学生我不明白您的意思啊！这是随机出题，正规的高次不定方程，不是游戏，但胜似游戏，会者不难，难者不会，这些参数也不大，完全可以用一般计算器计算，我虽然出此题，我也没有解出来答案，做为赛题，我与大家一起解，好吗？
当初希尔伯特有可能不会解这样的方程，不然的话，就不会有“希尔伯特23个问题的第十个问题”，你说是吧？

yangchuanju

15753X^13871+23785Y^38743=12383Z^78269

15753=3*59*89
23785=5*67*71
12383=7*29*61
13871=11*13*97
38743=17*43*53
78269=23*41*83

要解此题，擂台太高，先修一条栈道，试一试能不能上到擂台之上。

yangchuanju

三项式不定方程的解
费尔马1先生多年来研究了各种类型的不定方程，大都得到了一些通解。
AX^p+BY^q=CZ^r类型的三项式不定方程是其中的一种。
费尔马1在其博客《此题立个小擂台，望大家踊跃参赛》中首先给出一个小系数小指数的三项式不定方程的解，
然后希望有人能够仿例题解出另一个大系数大指数的三项式不定方程。

1楼  费尔马  发表于 2021-11-13 06:42 
不定方程4X^5+3Y^6=2Z^7
其中一个答案是:
X=2^32*3^35*ab[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
仿照上面的答案形式，解下面的题:
解不定方程，求正整数解集通式 :
15753X^13871+23785Y^38743=12383Z^78269
此题立个小擂台

例题的解及结构剖析
X=2^32*3^35*a*b*[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
X^5=2^160*3^175*a^5*b^5*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5-b^5) /2]^70
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Y^6=2^162*3^174*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5－b^5 ) /2]^72
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
Z^7=2^161*3^175*[(a^5+b^5) /2]^182*[(a^5－b^5) /2]^70

4X^5=2^162*3^175*a^5*b^5*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5--b^5) /2]^70——（1）
3Y^6=2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5－b^5) /2]^72——（2）
2Z^7=2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^182*[(a^5－b^5) /2]^70——（3）
令2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5--b^5) /2]^70=K
则（1）+（2）=K*{a*b+[(a^5-b^5)/2]^2}=K*{a^5*b^5+a^10/4-a^5*b^5/2+b^10/4}
（3）=K*[(a^5+b^5) /2]^2=K*[a^10/4+a^5*b^5/2+b^10/4]
a^5*b^5-a^5*b^5/2=a^5*b^5/2,
则（1）+（2）=（3）

擂台不定方程的系数和指数都大的很，解题难度极大，仿费尔马1的小系数小指数三项式不定方程，解几个从小系数小指数不定方程到大系数大指数不定方程，并从中找出一些规律和经验。

yangchuanju

一、试解以下不定方程
X^11+Y^13=Z^17
不定方程各项系数都是1，指数是互素的三个素数。
假定不定方程解的结构是
X=a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b、u为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶；。

仿例题，设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2+2=17*t3
s1,s2,s3；t1,t2,t3都是正整数.
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

11*s1=13*s2=17*s3-2，给定s1，s2=11*s1/13，s3=(11*s1+2)/17
11*t1=13*t2+2=17*t3，给定t1，t3=11*t1/17，t2=(11*t1-2)/13
解得两不定方程组的最小解分别是：
s1=91, s2=77, s3=59
t1=51, t2=43, t3=33

验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3-2=17*59-2=1001
11*t1=11*51=561, 13*t2+2=13*43+2=561,  17*t3=17*33=561

取u等于X的指数11，
X=a*b*[(a^11+b^11) /2]^91*[(a^11－b^11 ) /2]^51
Y=[(a^11+b^11) /2]^77*[(a^11－b^11 ) /2]^43
Z=[(a^11+b^11) /2]^59*[(a^11－b^11 ) /2]^33
X^11=a^11*b^11*[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^561
Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^559
Z^17=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11－b^11 ) /2]^561
X^11+Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^559*[a^11*b^11+(a^11－b^11 ) /2]
=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^559*(a^11+b^11 ) /2=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11－b^11 ) /2]^559=Z^17
不定方程的解正确！

改正声明：
本表凡是“t2+2”都错了，需改为“t2-2”，相应的以下得数全错！故上面的数据不正确！
一个符号搞错，以下的指数不定方程解(t1,t2,t3)、解的验证、X,Y,Z,X^11,Y^13,Z^17、X^11+Y^13全部数据都错！
这里只修改并重发（一）的解题过程，（二）至（十）也都有类似错误，不再一一修改，仅修改（十一）中的错误！

重发：
一、试解以下不定方程
X^11+Y^13=Z^17
不定方程各项系数都是1，指数是互素的三个素数。
假定不定方程解的结构是
X=a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b、u为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶；。

仿例题，设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2-2=17*t3
s1,s2,s3；t1,t2,t3都是正整数.
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

11*s1=13*s2=17*s3-2，给定s1，s2=11*s1/13，s3=(11*s1+2)/17
11*t1=13*t2-2=17*t3，给定t1，t3=11*t1/17，t2=(11*t1+2)/13
解得两不定方程组的最小解分别是：
s1=91, s2=77, s3=59
t1=170, t2=144, t3=110

验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3=17*59=1003
11*t1=11*170=1870, 13*t2=13*144=1872,  17*t3=17*110=1870
取u等于X的指数11，
X=a*b*[(a^11+b^11) /2]^91*[(a^11－b^11 ) /2]^170
Y=[(a^11+b^11) /2]^77*[(a^11－b^11 ) /2]^144
Z=[(a^11+b^11) /2]^59*[(a^11－b^11 ) /2]^110
X^11=a^11*b^11*[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1870
Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1872
Z^17=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11－b^11 ) /2]^1870
X^11+Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1870*{a^11*b^11+[(a^11－b^11 ) /2]^2}
=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1870*[(a^11+b^11 ) /2]^2=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11－b^11 ) /2]^1870=Z^17
不定方程的解正确！

yangchuanju

序号        s1        t1        s2        t3        s3        t2
1        13        17        11        11        8.529         14.231
2        26        34        22        22        16.941         28.615
3        39        51        33        33        25.353         43
4        52        68        44        44        33.765         57.385
5        65        85        55        55        42.176         71.769
6        78        102        66        66        50.588         86.154
7        91        119        77        77        59        100.538
8        104        136        88        88        67.412         114.923
16        208        272        176        176        134.706         230
24        312        408        264        264        202        345.077
25        325        425        275        275        210.412         359.462

s3、t2中得数是整数、连同对应的s1,s2及t1,t3为所求。
第1组正整数为最小正整数解；第2组正整数为下一组正整数解。

表中数据不完全正确，未再修正！

yangchuanju

二、试解以下不定方程
3X^11+5Y^13=7Z^17
三系数分解式
3=1*3
5=1*5
7=1*7
三系数之中各1个素因子，但没有一个公因子，共3个素因子：3,5,7。

本题与上一题相比，各项指数未变，各增加一个系数，各个指数、各个系数都互素。

仿不定方程4X^5+3Y^6=2Z^7
其中一个答案是:
X=2^32*3^35*ab[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

不定方程的系数必须全部转入解的相关素因子之中；
假定不定方程解的结构是：
X=3^c1*5^d1*7^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=3^c2*5^d2*7^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=3^c3*5^d3*7^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
3的指数不定方程：11*c1-1=13*c2=17*c3
5的指数不定方程：11*d1=13*d2-1=17*d3
7的指数不定方程：11*e1=13*e2=17*e3-1

又设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2+2=17*t3
并已求出两组最小解（参见题一）
s1=91,s2=77,s3=59
t1=51,t2=43,t3=33
验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3-2=17*59-2=1001
11*t1=11*51=561, 13*t2+2=13*43+2=561,  17*t3=17*33=561

3个素因子的3组指数不定方程组如下：
11*c1+1=13*c2=17*c3, 给定c3，c2=17*c3/13, c1=(17*c3-1)/11
13*d2+1=17*d3=11*d1, 给定d1，d3=11*d1/17, d2=(11*d1-1)/13
17*e3+1=11*e1=13*e2, 给定e2，e1=13*e2/11, e3=(13*e2-1)/17
解之
c3=13, c2=17, c1=20
d1=136, d3=88, d2=115
e2=55, e1=65, e3=42
验证指数
3X^11=3^(11*c1+1)*5^(11*d1)*7^(11*e1)*…=3^221*5^1496*7^715*…
5Y^13=3^(13*c2)*5^(13*d2+1)*7^(13*e2)*…=3^221*5^1496*7^715*…
7Z^17=3^(17*c3)*5^(17*d3)*7^(17*e3+1)*…=3^221*5^1496*7^715*…

综合到一起，不定方程
3X^11+5Y^13=7Z^17的一组最小解是
X=3^20*5^136*7^65*a*b*[(a^11+b^11)/2]^91*[(a^11-b^11)/2]^51
Y=3^17*5^115*7^55*[(a^11+b^11)/2]^77*[(a^11-b^11)/2]^43
Z=3^13*5^88*7^42*[(a^11+b^11)/2]^59*[(a^11-b^11)/2]^33
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

yangchuanju

序号        c3        d1        e2        c1余数        d2余数        e3余数        c2        d3        e1
0        0        0        0        -1        -1        -1        0        0        0
1        13        17        11        0        4        6        17        11        13
2        26        34        22        1        9        13        34        22        26
3        39        51        33        2        1        3        51        33        39
4        52        68        44        3        6        10        68        44        52
5        65        85        55        4        11        0        85        55        65
6        78        102        66        5        3        7        102        66        78
7        91        119        77        6        8        14        119        77        91
8        104        136        88        7        0        4        136        88        104
9        117        153        99        8        5        11        153        99        117
10        130        170        110        9        10        1        170        110        130
11        143        187        121        10        2        8        187        121        143
12        156        204        132        0        7        15        204        132        156
13        169        221        143        1        12        5        221        143        169
21        273        357        231        9        0        10        357        231        273
22        286        374        242        10        5        0        374        242        286
23        299        391        253        0        10        7        391        253        299

c1余数、d2余数、e3余数列得数为0；再将其转换成c1、d2、e3后，连同c2,c3; d1,d3; e1,e2为所求。
第1组0位最小正整数解；第2组0是下一组正整数解。

yangchuanju

三、试解以下不定方程
57X^11+115Y^13=203Z^17
三系数分解式
57=3*19
115=5*23
203=7*29
三系数之中各2个素因子，但没有一个公因子，共6个素因子：
3,5,7,19,23,29。

仿不定方程4X^5+3Y^6=2Z^7
其中一个答案是:
X=2^32*3^35*ab[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

不定方程的系数必须全部转入解的相关素因子之中；
假定不定方程解的结构是
X=57^c1*115^d1*203^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=57^c2*115^d2*203^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=57^c3*115^d3*203^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
57的指数不定方程：11*c1-1=13*c2=17*c3
115的指数不定方程：11*d1=13*d2-1=17*d3
203的指数不定方程：11*e1=13*e2=17*e3-1
还是设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2+2=17*t3

在求出5组指数不定方程后，XYZ项的各个指数均相等了，系数都是1了，
对于本题不定方程的解为：
X=57^c1*115^d1*203^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=57^c2*115^d2*203^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=57^c3*115^d3*203^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3

X^11=57^(11*c1)*115^(11*d1)*203^(11*e1)*…
Y^13=57^(13*c2)*115^(13*d2)*203^(13*e2)*…
Z^17=57^(17*c3)*115^(17*d3)*203^(17*e3)*…
57X^11=57^(11*c1+1)*115^(11*d1)*203^(11*e1)*…
115Y^13=57^(13*c2)*115^(13*d2+1)*203^(13*e2)*…
203Z^17=57^(17*c3)*115^(17*d3)*203^(17*e3+1)*…

由于同底数的幂次数应相等，故有
11*c1+1=13*c2=17*c3
13*d2+1=17*d3=11*d1
17*e3+1=11*e1=13*e2

11*c1+1=13*c2=17*c3, c2=17*c3/13, c1=(17*c3-1)/11
13*d2+1=17*d3=11*d1, d3=11*d1/17, d2=(11*d1-1)/13
17*e3+1=11*e1=13*e2, e1=13*e2/11, e3=(13*e2-1)/17

解之
c3=13, c2=17, c1=20
d1=136, d3=88, d2=115
e2=55, e1=65, e3=42

验证指数
57X^11=57^(11*c1+1)*115^(11*d1)*203^(11*e1)*…=57^221*115^1496*203^715*…
115Y^13=57^(13*c2)*115^(13*d2+1)*203^(13*e2)*…=57^221*115^1496*203^715*…
203Z^17=57^(17*c3)*115^(17*d3)*203^(17*e3+1)*…=57^221*115^1496*203^715*…

解(a^u±b^u)/2的指数不定方程组：
11*s1=13*s2=17*s3-2，给定s1，s2=11*s1/13，s3=(11*s1+2)/17
11*t1=13*t2+2=17*t3，给定t1，t3=11*t1/17，t2=(11*t1-2)/13
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

已求出两组最小解
s1=91,s2=77,s3=59
t1=51,t2=43,t3=33
验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3-2=17*59-2=1001
11*t1=11*51=561, 13*t2+2=13*43+2=561,  17*t3=17*33=561

综合到一起，不定方程
57X^11+115Y^13=203Z^17的一组最小解是
X=3^20*5^136*7^65*19^20*23^136*29^65a*b*[(a^11+b^11)/2]^91*[(a^11-b^11)/2]^51
Y=3^17*5^115*7^55*19^17*23^115*29^55*[(a^11+b^11)/2]^77*[(a^11-b^11)/2]^43
Z=3^13*5^88*7^42*19^13*23^88*29^42*[(a^11+b^11)/2]^59*[(a^11-b^11)/2]^33
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。