变化一下赛题的条件

费尔马1 · 发表于 2021-11-22 08:03

解不定方程，求正整数解集通式 :
15753X^13871+23785Y^38743=12383Z^78269
此题立个小擂台
无论什么样的答案形式都可以。

玉树临风 · 发表于 2021-11-22 08:38

这种设密码解密码的游戏有什么好玩，极度不对称

费尔马1 · 发表于 2021-11-22 11:39

玉树临风发表于 2021-11-22 08:38
这种设密码解密码的游戏有什么好玩，极度不对称

学生我不明白您的意思啊！这是随机出题，正规的高次不定方程，不是游戏，但胜似游戏，会者不难，难者不会，这些参数也不大，完全可以用一般计算器计算，我虽然出此题，我也没有解出来答案，做为赛题，我与大家一起解，好吗？
当初希尔伯特有可能不会解这样的方程，不然的话，就不会有“希尔伯特23个问题的第十个问题”，你说是吧？

yangchuanju · 发表于 2021-11-22 13:56

15753X^13871+23785Y^38743=12383Z^78269

15753=3*59*89
23785=5*67*71
12383=7*29*61
13871=11*13*97
38743=17*43*53
78269=23*41*83

要解此题，擂台太高，先修一条栈道，试一试能不能上到擂台之上。

yangchuanju · 发表于 2021-11-22 13:59

三项式不定方程的解
费尔马1先生多年来研究了各种类型的不定方程，大都得到了一些通解。
AX^p+BY^q=CZ^r类型的三项式不定方程是其中的一种。
费尔马1在其博客《此题立个小擂台，望大家踊跃参赛》中首先给出一个小系数小指数的三项式不定方程的解，
然后希望有人能够仿例题解出另一个大系数大指数的三项式不定方程。

1楼费尔马发表于 2021-11-13 06:42 
不定方程4X^5+3Y^6=2Z^7
其中一个答案是:
X=2^32*3^35*ab[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
仿照上面的答案形式，解下面的题:
解不定方程，求正整数解集通式 :
15753X^13871+23785Y^38743=12383Z^78269
此题立个小擂台

例题的解及结构剖析
X=2^32*3^35*a*b*[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
X^5=2^160*3^175*a^5*b^5*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5-b^5) /2]^70
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Y^6=2^162*3^174*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5－b^5 ) /2]^72
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
Z^7=2^161*3^175*[(a^5+b^5) /2]^182*[(a^5－b^5) /2]^70

4X^5=2^162*3^175*a^5*b^5*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5--b^5) /2]^70——（1）
3Y^6=2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5－b^5) /2]^72——（2）
2Z^7=2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^182*[(a^5－b^5) /2]^70——（3）
令2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5--b^5) /2]^70=K
则（1）+（2）=K*{a*b+[(a^5-b^5)/2]^2}=K*{a^5*b^5+a^10/4-a^5*b^5/2+b^10/4}
（3）=K*[(a^5+b^5) /2]^2=K*[a^10/4+a^5*b^5/2+b^10/4]
a^5*b^5-a^5*b^5/2=a^5*b^5/2,
则（1）+（2）=（3）

擂台不定方程的系数和指数都大的很，解题难度极大，仿费尔马1的小系数小指数三项式不定方程，解几个从小系数小指数不定方程到大系数大指数不定方程，并从中找出一些规律和经验。

yangchuanju · 发表于 2021-11-22 14:00

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-26 06:35 编辑

一、试解以下不定方程
X^11+Y^13=Z^17
不定方程各项系数都是1，指数是互素的三个素数。
假定不定方程解的结构是
X=a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b、u为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶；。

仿例题，设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2+2=17*t3
s1,s2,s3；t1,t2,t3都是正整数.
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

11*s1=13*s2=17*s3-2，给定s1，s2=11*s1/13，s3=(11*s1+2)/17
11*t1=13*t2+2=17*t3，给定t1，t3=11*t1/17，t2=(11*t1-2)/13
解得两不定方程组的最小解分别是：
s1=91, s2=77, s3=59
t1=51, t2=43, t3=33

验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3-2=17*59-2=1001
11*t1=11*51=561, 13*t2+2=13*43+2=561, 17*t3=17*33=561

取u等于X的指数11，
X=a*b*[(a^11+b^11) /2]^91*[(a^11－b^11 ) /2]^51
Y=[(a^11+b^11) /2]^77*[(a^11－b^11 ) /2]^43
Z=[(a^11+b^11) /2]^59*[(a^11－b^11 ) /2]^33
X^11=a^11*b^11*[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^561
Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^559
Z^17=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11－b^11 ) /2]^561
X^11+Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^559*[a^11*b^11+(a^11－b^11 ) /2]
=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^559*(a^11+b^11 ) /2=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11－b^11 ) /2]^559=Z^17
不定方程的解正确！

改正声明：
本表凡是“t2+2”都错了，需改为“t2-2”，相应的以下得数全错！故上面的数据不正确！
一个符号搞错，以下的指数不定方程解(t1,t2,t3)、解的验证、X,Y,Z,X^11,Y^13,Z^17、X^11+Y^13全部数据都错！
这里只修改并重发（一）的解题过程，（二）至（十）也都有类似错误，不再一一修改，仅修改（十一）中的错误！

重发：
一、试解以下不定方程
X^11+Y^13=Z^17
不定方程各项系数都是1，指数是互素的三个素数。
假定不定方程解的结构是
X=a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b、u为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶；。

仿例题，设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2-2=17*t3
s1,s2,s3；t1,t2,t3都是正整数.
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

11*s1=13*s2=17*s3-2，给定s1，s2=11*s1/13，s3=(11*s1+2)/17
11*t1=13*t2-2=17*t3，给定t1，t3=11*t1/17，t2=(11*t1+2)/13
解得两不定方程组的最小解分别是：
s1=91, s2=77, s3=59
t1=170, t2=144, t3=110

验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3=17*59=1003
11*t1=11*170=1870, 13*t2=13*144=1872,  17*t3=17*110=1870
取u等于X的指数11，
X=a*b*[(a^11+b^11) /2]^91*[(a^11－b^11 ) /2]^170
Y=[(a^11+b^11) /2]^77*[(a^11－b^11 ) /2]^144
Z=[(a^11+b^11) /2]^59*[(a^11－b^11 ) /2]^110
X^11=a^11*b^11*[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1870
Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1872
Z^17=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11－b^11 ) /2]^1870
X^11+Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1870*{a^11*b^11+[(a^11－b^11 ) /2]^2}
=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11－b^11 ) /2]^1870*[(a^11+b^11 ) /2]^2=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11－b^11 ) /2]^1870=Z^17
不定方程的解正确！

yangchuanju · 发表于 2021-11-22 14:03

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-26 06:37 编辑

序号 s1 t1 s2 t3 s3 t2
1 13 17 11 11 8.529 14.231
2 26 34 22 22 16.941 28.615
3 39 51 33 33 25.353 43
4 52 68 44 44 33.765 57.385
5 65 85 55 55 42.176 71.769
6 78 102 66 66 50.588 86.154
7 91 119 77 77 59 100.538
8 104 136 88 88 67.412 114.923
16 208 272 176 176 134.706 230
24 312 408 264 264 202 345.077
25 325 425 275 275 210.412 359.462

s3、t2中得数是整数、连同对应的s1,s2及t1,t3为所求。
第1组正整数为最小正整数解；第2组正整数为下一组正整数解。

表中数据不完全正确，未再修正！

yangchuanju · 发表于 2021-11-22 14:05

二、试解以下不定方程
3X^11+5Y^13=7Z^17
三系数分解式
3=1*3
5=1*5
7=1*7
三系数之中各1个素因子，但没有一个公因子，共3个素因子：3,5,7。

本题与上一题相比，各项指数未变，各增加一个系数，各个指数、各个系数都互素。

仿不定方程4X^5+3Y^6=2Z^7
其中一个答案是:
X=2^32*3^35*ab[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

不定方程的系数必须全部转入解的相关素因子之中；
假定不定方程解的结构是：
X=3^c1*5^d1*7^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=3^c2*5^d2*7^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=3^c3*5^d3*7^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
3的指数不定方程：11*c1-1=13*c2=17*c3
5的指数不定方程：11*d1=13*d2-1=17*d3
7的指数不定方程：11*e1=13*e2=17*e3-1

又设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2+2=17*t3
并已求出两组最小解（参见题一）
s1=91,s2=77,s3=59
t1=51,t2=43,t3=33
验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3-2=17*59-2=1001
11*t1=11*51=561, 13*t2+2=13*43+2=561, 17*t3=17*33=561

3个素因子的3组指数不定方程组如下：
11*c1+1=13*c2=17*c3, 给定c3，c2=17*c3/13, c1=(17*c3-1)/11
13*d2+1=17*d3=11*d1, 给定d1，d3=11*d1/17, d2=(11*d1-1)/13
17*e3+1=11*e1=13*e2, 给定e2，e1=13*e2/11, e3=(13*e2-1)/17
解之
c3=13, c2=17, c1=20
d1=136, d3=88, d2=115
e2=55, e1=65, e3=42
验证指数
3X^11=3^(11*c1+1)*5^(11*d1)*7^(11*e1)*…=3^221*5^1496*7^715*…
5Y^13=3^(13*c2)*5^(13*d2+1)*7^(13*e2)*…=3^221*5^1496*7^715*…
7Z^17=3^(17*c3)*5^(17*d3)*7^(17*e3+1)*…=3^221*5^1496*7^715*…

综合到一起，不定方程
3X^11+5Y^13=7Z^17的一组最小解是
X=3^20*5^136*7^65*a*b*[(a^11+b^11)/2]^91*[(a^11-b^11)/2]^51
Y=3^17*5^115*7^55*[(a^11+b^11)/2]^77*[(a^11-b^11)/2]^43
Z=3^13*5^88*7^42*[(a^11+b^11)/2]^59*[(a^11-b^11)/2]^33
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

yangchuanju · 发表于 2021-11-22 14:06

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-22 14:21 编辑

序号 c3 d1 e2 c1余数 d2余数 e3余数 c2 d3 e1
0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0
1 13 17 11 0 4 6 17 11 13
2 26 34 22 1 9 13 34 22 26
3 39 51 33 2 1 3 51 33 39
4 52 68 44 3 6 10 68 44 52
5 65 85 55 4 11 0 85 55 65
6 78 102 66 5 3 7 102 66 78
7 91 119 77 6 8 14 119 77 91
8 104 136 88 7 0 4 136 88 104
9 117 153 99 8 5 11 153 99 117
10 130 170 110 9 10 1 170 110 130
11 143 187 121 10 2 8 187 121 143
12 156 204 132 0 7 15 204 132 156
13 169 221 143 1 12 5 221 143 169
21 273 357 231 9 0 10 357 231 273
22 286 374 242 10 5 0 374 242 286
23 299 391 253 0 10 7 391 253 299

c1余数、d2余数、e3余数列得数为0；再将其转换成c1、d2、e3后，连同c2,c3; d1,d3; e1,e2为所求。
第1组0位最小正整数解；第2组0是下一组正整数解。

yangchuanju · 发表于 2021-11-22 14:26

三、试解以下不定方程
57X^11+115Y^13=203Z^17
三系数分解式
57=3*19
115=5*23
203=7*29
三系数之中各2个素因子，但没有一个公因子，共6个素因子：
3,5,7,19,23,29。

仿不定方程4X^5+3Y^6=2Z^7
其中一个答案是:
X=2^32*3^35*ab[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

不定方程的系数必须全部转入解的相关素因子之中；
假定不定方程解的结构是
X=57^c1*115^d1*203^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=57^c2*115^d2*203^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=57^c3*115^d3*203^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
57的指数不定方程：11*c1-1=13*c2=17*c3
115的指数不定方程：11*d1=13*d2-1=17*d3
203的指数不定方程：11*e1=13*e2=17*e3-1
还是设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2+2=17*t3

在求出5组指数不定方程后，XYZ项的各个指数均相等了，系数都是1了，
对于本题不定方程的解为：
X=57^c1*115^d1*203^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=57^c2*115^d2*203^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=57^c3*115^d3*203^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3

X^11=57^(11*c1)*115^(11*d1)*203^(11*e1)*…
Y^13=57^(13*c2)*115^(13*d2)*203^(13*e2)*…
Z^17=57^(17*c3)*115^(17*d3)*203^(17*e3)*…
57X^11=57^(11*c1+1)*115^(11*d1)*203^(11*e1)*…
115Y^13=57^(13*c2)*115^(13*d2+1)*203^(13*e2)*…
203Z^17=57^(17*c3)*115^(17*d3)*203^(17*e3+1)*…

由于同底数的幂次数应相等，故有
11*c1+1=13*c2=17*c3
13*d2+1=17*d3=11*d1
17*e3+1=11*e1=13*e2

11*c1+1=13*c2=17*c3, c2=17*c3/13, c1=(17*c3-1)/11
13*d2+1=17*d3=11*d1, d3=11*d1/17, d2=(11*d1-1)/13
17*e3+1=11*e1=13*e2, e1=13*e2/11, e3=(13*e2-1)/17

解之
c3=13, c2=17, c1=20
d1=136, d3=88, d2=115
e2=55, e1=65, e3=42

验证指数
57X^11=57^(11*c1+1)*115^(11*d1)*203^(11*e1)*…=57^221*115^1496*203^715*…
115Y^13=57^(13*c2)*115^(13*d2+1)*203^(13*e2)*…=57^221*115^1496*203^715*…
203Z^17=57^(17*c3)*115^(17*d3)*203^(17*e3+1)*…=57^221*115^1496*203^715*…

解(a^u±b^u)/2的指数不定方程组：
11*s1=13*s2=17*s3-2，给定s1，s2=11*s1/13，s3=(11*s1+2)/17
11*t1=13*t2+2=17*t3，给定t1，t3=11*t1/17，t2=(11*t1-2)/13
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。

已求出两组最小解
s1=91,s2=77,s3=59
t1=51,t2=43,t3=33
验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3-2=17*59-2=1001
11*t1=11*51=561, 13*t2+2=13*43+2=561, 17*t3=17*33=561

综合到一起，不定方程
57X^11+115Y^13=203Z^17的一组最小解是
X=3^20*5^136*7^65*19^20*23^136*29^65a*b*[(a^11+b^11)/2]^91*[(a^11-b^11)/2]^51
Y=3^17*5^115*7^55*19^17*23^115*29^55*[(a^11+b^11)/2]^77*[(a^11-b^11)/2]^43
Z=3^13*5^88*7^42*19^13*23^88*29^42*[(a^11+b^11)/2]^59*[(a^11-b^11)/2]^33
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

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