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本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-26 06:35 编辑
一、试解以下不定方程
X^11+Y^13=Z^17
不定方程各项系数都是1,指数是互素的三个素数。
假定不定方程解的结构是
X=a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u-b^u ) /2]^t1
Y=[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u-b^u ) /2]^t2
Z=[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u-b^u ) /2]^t3
其中,a、b、u为正整数,a>b,a、b同奇或同偶;。
仿例题,设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式:
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2+2=17*t3
s1,s2,s3;t1,t2,t3都是正整数.
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。
11*s1=13*s2=17*s3-2,给定s1,s2=11*s1/13,s3=(11*s1+2)/17
11*t1=13*t2+2=17*t3,给定t1,t3=11*t1/17,t2=(11*t1-2)/13
解得两不定方程组的最小解分别是:
s1=91, s2=77, s3=59
t1=51, t2=43, t3=33
验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3-2=17*59-2=1001
11*t1=11*51=561, 13*t2+2=13*43+2=561, 17*t3=17*33=561
取u等于X的指数11,
X=a*b*[(a^11+b^11) /2]^91*[(a^11-b^11 ) /2]^51
Y=[(a^11+b^11) /2]^77*[(a^11-b^11 ) /2]^43
Z=[(a^11+b^11) /2]^59*[(a^11-b^11 ) /2]^33
X^11=a^11*b^11*[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^561
Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^559
Z^17=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11-b^11 ) /2]^561
X^11+Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^559*[a^11*b^11+(a^11-b^11 ) /2]
=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^559*(a^11+b^11 ) /2=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11-b^11 ) /2]^559=Z^17
不定方程的解正确!
改正声明:
本表凡是“t2+2”都错了,需改为“t2-2”,相应的以下得数全错!故上面的数据不正确!
一个符号搞错,以下的指数不定方程解(t1,t2,t3)、解的验证、X,Y,Z,X^11,Y^13,Z^17、X^11+Y^13全部数据都错!
这里只修改并重发(一)的解题过程,(二)至(十)也都有类似错误,不再一一修改,仅修改(十一)中的错误!
重发:
一、试解以下不定方程
X^11+Y^13=Z^17
不定方程各项系数都是1,指数是互素的三个素数。
假定不定方程解的结构是
X=a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u-b^u ) /2]^t1
Y=[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u-b^u ) /2]^t2
Z=[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u-b^u ) /2]^t3
其中,a、b、u为正整数,a>b,a、b同奇或同偶;。
仿例题,设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式:
11*s1=13*s2=17*s3-2
11*t1=13*t2-2=17*t3
s1,s2,s3;t1,t2,t3都是正整数.
解两组不定方程可求出s1,s2,s3;t1,t2,t3。
11*s1=13*s2=17*s3-2,给定s1,s2=11*s1/13,s3=(11*s1+2)/17
11*t1=13*t2-2=17*t3,给定t1,t3=11*t1/17,t2=(11*t1+2)/13
解得两不定方程组的最小解分别是:
s1=91, s2=77, s3=59
t1=170, t2=144, t3=110
验证
11*s1=11*91=1001,13*s2=13*77=1001,17*s3=17*59=1003
11*t1=11*170=1870, 13*t2=13*144=1872,  17*t3=17*110=1870
取u等于X的指数11,
X=a*b*[(a^11+b^11) /2]^91*[(a^11-b^11 ) /2]^170
Y=[(a^11+b^11) /2]^77*[(a^11-b^11 ) /2]^144
Z=[(a^11+b^11) /2]^59*[(a^11-b^11 ) /2]^110
X^11=a^11*b^11*[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^1870
Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^1872
Z^17=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11-b^11 ) /2]^1870
X^11+Y^13=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^1870*{a^11*b^11+[(a^11-b^11 ) /2]^2}
=[(a^11+b^11) /2]^1001*[(a^11-b^11 ) /2]^1870*[(a^11+b^11 ) /2]^2=[(a^11+b^11) /2]^1003*[(a^11-b^11 ) /2]^1870=Z^17
不定方程的解正确!
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