3 无穷集合的来源及其悖论、难题的解决方法

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3 无穷集合的来源及其悖论、难题的解决方法
现行的ZFC形式语言集合论无法建立完备而又无矛盾的无穷集合理论。为此首先需要知道如下的自然数及其集合的如下的从实践出发的定义。
定义1，空集这个术语，表示没有元素的想象性集合；由确定个数的确定事物为元素组成的整体，叫做现实的正常集合。其中的术语“元素个数”具有忽略现实集合各个元素性质与大小差别的意义，元素个数多少的表达符号叫做理想自然数（在暂时不联系现实数量的纯粹数学研究中可以简称为自然数）。
这个定义下的现实正常集合需要用一篮子苹果、一家人、一班学生等实例进行说明：其中自然数（即元素个数的表达符号）是古代人创造的由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号与十进记数法表示的数。由此出发，就有了形式逻辑下，需要的背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则就构成了现行的自然数的初步理论。但在自然数应用时，不能忘掉它们与现实数量的关系，例如; 虽然从纯理论上可以讲：理想自然数10比9大，但还需要知道“9个大苹果比十个小苹果分量大、养分多”。使用自然数表达线段长度的毫米数时，需要知道：“线段长度具有测不准性，使用自然数表示两个线段毫米数的和时，需要进行误差分析”。这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》中说的“对立统一的法则，是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述。也需要使用毛泽东在《实践论》中说的“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的论述。
定义2：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷集合；若有穷集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向性广义极限为+∞，则称：这种有穷集合为项的无穷序列的趋向性极限性事物为元素个数为非正常实数+∞的含有所有自然数的，不可构造完毕的想象性质的理想性无穷性质的自然数集合；且称它为非正常集合。
根据这个定义与上述讨论，想象性质的自然数无穷集合是以有穷集合为项的无穷序列 {0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},……     （1）
或{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
或{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
的广义趋向性极限事物。这就说明：现行自然数集合表示符号中的N=｛0，1，2，3，……｝中最后的省略号具有无限延续下去的意义；由于序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}，这个数列的广义极限为+∞，所以这个自然数集合N的元素个数可以说是+∞。由于符号+∞ 叫做无穷大或无穷多，所以这个N也叫无穷集合。关于这个符号+∞，还需要知道：它是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页中讲的“非正常（或称广义）极限[4]”性质的“非正常实数”。事实上，由于序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 ，这两元素个数列的广义极限也是+∞，根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式,定值法， 与 型不定式定值法计算中都可以使用∞与0的取极限之前变数计算不定式的值。所以上述三个+∞ 表示的多少是不相同的：（2）式表示的比（1）式表示的元素个数多，（3）式表示的比（1）（2）式都多。但也可以说：这个不同只是趋向于+∞的快慢不同；对于+∞这个符号，应当知道：它既可以被看作是大于一切有限数的数，又需要被看作不是正常数，因为它不能表示任何正常的、现实的已经构造完成了的集合的元素个数。
笔者还发现：“对无穷集合数学归纳法具有失效的性质”，例如：对自然数集合，可以根据“当自然数n 能被写出时，推出n+1也能被写出的性质”，得到所有自然数都能被写出的结论，就违背了所有自然数无结法被写出，自然数集合无法构造完毕的事实，所以“数学归纳法失效”。类似地讨论还说明：有理数集合、实数集合都是元素个数为非正常实数+∞的想象性非正常集合。
上述讨论说明：第一，康托尔“数学必须肯定实无穷，无穷集合是完成了的整体的实无穷观点”是违背事实的、错误的观点；康托尔无穷集合理论造成了 违背 欧几里德“公理8. 全体大于部分”的“有理数集合与其真子集（自然数集合）元素个数相等的”的悖论。第二，李云普 任国朝 编《几何基础》1990年版55页与余元希等《初等代数研究》上册1988年第一版85页使用的“康托尔公理”是需要使用无穷序列趋向性极限方法证明，而且需要指出“极限值具有不可达到的理想性”。第三，ZFC形式语言公理体系，需要使用普通语言 进行解说，但汪芳庭《数学基础》对“无限公理”的“有了无限公理，集论便进入了实无限的领域，实无限（无穷集）是现代数学的基本工具，是集论的本质。历史上，由Peauo公理确定的自然数集合N是抽象的，而这里的我们得到的ω这个自然数集合是具体的，关于自然数，我们从抽象走到了具体。无限公理的引入，无非是为了肯定ω这个集作为整体的存在性”的解说是违背实践事实的错误解说。第四，现行教科书，把实数集合说成“具有连续性集合”的说法，不恰当，事实上对任何实数，找不到与它挨着的、连着的实数；反过来，根据Peauo公理，自然数集合的每个元素都有有挨着的继数，所以，自然数集合可以说是具有连续性的集合；第无，根据上述表达式（1）（2）（3）可知：正常集合有无穷多，所有正常集合构成的集合是非正常集合，这就消除了罗素悖论；由于+∞不是定数，不是正常数；康托尔的无穷基数不能提出，这就消除了康托尔悖论；第六，由于想象性无穷集合的元素个数都不是正常自然数，所以不能使用“一一对应法则”提出无穷集合可数与否（或可列预购）的术语，这样酒消除了“连续统假设”的大难题。总之，根据恩格斯的论述，我们必须知道：无穷集合都是元素个数趋向于+∞的的的趋向性的想象性的非正常集合，它是无法构造完毕的想象性集合。想象性无穷集合的元素个数不是自然数，它是不可数的；它纯粹是由个数是有限自然数的有穷集合组成的；有限集合的元素个数是有限自然数，是可数的。对闭区间[0,1]也是如此，现行的实数集合也是想象性的不可构成的集合，无尽循环小数0.999……不等于1，而是理想实数1的近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，……的连写。在准确到两位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.00，0.01，，0.02，……0.99，1.00，的101个有理数的可数集合；在准确到四位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.0000，0.0001，，0.0002，……0.9999，1.0000，的10001个有理数的可数集合。总之，对于无穷集合理论的阐述需要以实践为基础，不能单靠形式逻辑，还需要使用辑唯物辩证法进行阐述。对无穷序列必须知道“它们既具有无限延续下去的性质，又具有永远延续不到底的性质”。