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小擂台卷土重来

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发表于 2021-11-25 13:18 | 显示全部楼层 |阅读模式
解程氏方程:
1013x^2111+3011y^4111=1301z^23221
求出其正整数解集通式。
(答案形式不限)
发表于 2021-11-25 13:31 | 显示全部楼层
先分解一下3个系数和3个指数       
1013        1013 is prime
3011        3011 is prime
1301        1301 is prime
2111        2111 is prime
4111        4111 is prime
23221        23221=11*2111
5个素数,1个二合数,可能比较好解!       
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 楼主| 发表于 2021-11-25 14:30 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-11-25 13:31
先分解一下3个系数和3个指数       
1013        1013 is prime
3011        3011 is prime

学生我认为这个题非常复杂啊!您看看,指数2111与23221有公约数2111,这就相当于是同次幂,三个指数其中有两个是同次幂,这样的不定方程不易解啊!况且还含有系数。本题为了减小难度,答案的指数可以不采用周期数的形式。

点评

别把杨老师累着。题目慢慢的出。  发表于 2021-11-25 14:36
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发表于 2021-11-25 21:50 | 显示全部楼层
假定不定方程解的结构是
X=1013^c1*3011^d1*1301^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u-b^u ) /2]^t1
Y=1013^c2*3011^d2*1301^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u-b^u ) /2]^t2
Z^2111=1013^c3*3011^d3*1301^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u-b^u ) /2]^t3
其中,a、b为正整数,a>b,a、b同奇或同偶;u=2111;其余15参变量待求。

依题给条件,可列5组指数不定方程:
2111*c1+1=4111*c2=11*c3
2111*d1=4111*d2+1=11*d3
2111*e1=4111*e2=11*e3+1
2111*s1=4111*s2=11*s3-2
2111*t1=4111*t2-2=11*t3

分别解5组不定方程
2111*c1+1=4111*c2=11*c3,给定c2,c3=4111*c2/11,c1=(4111*c2-1)/2111
2111*d1=4111*d2+1=11*d3,给定d3,d1=11*d3/2111,d2=(11*d3-1)/4111
2111*e1=4111*e2=11*e3+1,给定e1,e2=2111*e1/4111,e3=(2111*e1-1)/11
2111*s1=4111*s2=11*s3-2,给定s1,s2=2111*s1/4111,s3=(2111*s1+2)/11
2111*t1=4111*t2-2=11*t3,给定t1,t3=2111*t1/11,t2=(2111*t1+2)/4111
得                                                                       
c1        39073        d1        34925        e1        16444        s1        12333        t1        20592
c2        20064        d2        17934        e2        8444        s2        6333        t2        10574
c3        7498464        d3        6702425        e3        3155753        s3        2366815        t3        3951792

X=1013^39073*3011^34925*1301^16444*a*b*[(a^2111+b^2111) /2]^12333*[(a^2111-b^2111 ) /2]^20592
Y=1013^20064*3011^17934*1301^8444*[(a^2111+b^2111) /2]^6333*[(a^2111-b^2111 ) /2]^10574
Z^2111=1013^7498464*3011^6702425*1301^3155753*[(a^2111+b^2111) /2]^2366815*[(a^u-b^u ) /2]^3951792
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发表于 2021-11-25 21:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-26 09:25 编辑

因Z^2111的五个指数c3,d3,e3,s3,t3有的不是2111的倍数,必须将它们扩大2111倍方可求出底数Z;相应的c1,d1,e1,s1,t1;c2,d2,e2,s2,t2均要扩大2111倍才行;
对于底数Z先乘2111再除2111,数值不变,Z的指数可直接用现Z^2111的指数;故原不动方程的最小正整数解是:
X=1013^82483103*3011^73726675*1301^34713284*a*b*[(a^2111+b^2111) /2]^26034963*[(a^2111-b^2111 ) /2]^43469712
Y=1013^42355104*3011^37858674*1301^17825284*[(a^2111+b^2111) /2]^13368963*[(a^2111-b^2111 ) /2]^22321714
Z=1013^7498464*3011^6702425*1301^3155753*[(a^2111+b^2111) /2]^2366815*[(a^u-b^u ) /2]^3951792

【附注】:前几天所解的几个三项式不定方程在处理[(a^u±b^u) /2]的指数不定方程中均有一个计算公式错误,故那几个不定方程的解不完全正确!
今天已对其中的(一)和(十一)进行了改正,但(二)至(十)中的错误未再改正;详见《变化一下赛题的条件》中的有关贴!
http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=&page=1

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赞  发表于 2021-11-25 22:32
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 楼主| 发表于 2021-11-26 04:17 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-11-25 21:51
因Z^2111的五个指数c3,d3,e3,s3,t3有的不是2111的倍数,必须将它们扩大2111倍方可求出底数Z;相应的c1,d1,e ...

杨老师非常棒!您的这种解法是你的创新,学生我不会。您的答案我暂时也没有时间检验,不知道你自己检验了吗?我以后抽时间再解这个题,看看是否可以得到您的这个答案?谢谢老师!
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