求解三元方程组 x(y+z)／(x+y+z)=M ，y(z+x)／(x+y+z)=N ，z(x+y)／(x+y+z)=P

lchydp

麻烦给个具体步骤，谢谢！

drc2000再来

它看起来像三元一次方程组,但实际上是三元二次次方程组,所以解起来并不简单.
下面举一例.(待续)

drc2000再来

drc2000再来 发表于 2021-11-28 17:01
它看起来像三元一次方程组,但实际上是三元二次次方程组,所以解起来并不简单.
下面举一例.(待续)

请看例题参考

lchydp

drc2000再来 发表于 2021-11-28 19:19
请看例题参考

非常感谢您！步骤稍微有点小问题，应该是：

drc2000再来

你,棒棒的!

波斯猫猫

该题已有解答，参见有关贴子。或：

题：解方程组 x(y+z)／(x+y+z)=a，y(z+x)／(x+y+z)=b，z(x+y)／(x+y+z)=c，

其中常数a，b，c都不为零，且任意两个数之和不等于另一个数。

思路：依次解出三个方程的z，

有z=[xy-a(x+y)]/(a-x)=[xy-b(x+y)]/(b-x)=c(x+y)]/(x+y-c)，

取[xy-a(x+y)]/(a-x)=(x+y)]/(x+y-c)和[xy-b(x+y)]/(b-x)=c(x+y)/(x+y-c)，

化简整理有，（a-b-c）x=(b-a-c)y。

同理（或对称性）有，(b-a-c)y=(c-a-b)z。

令（a-b-c）x=(b-a-c)y=(c-a-b)z=k，

得x=k/（a-b-c），y=k/(b-a-c)，z=k/(c-a-b)，

将其代入z=c(x+y)/(x+y-c)中，

得k/(c-a-b)=c[k/（a-b-c）+k/(b-a-c)]/[k/（a-b-c）+k/(b-a-c)-c]，

解得k=[a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)]/2。

故，x=[a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)]/[2（a-b-c）]，

y=[a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)]/[2（b-a-c）]，

z=[a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)]/[2（c-a-b）]。

注：原题为：求解三元方程组 x(y+z)／(x+y+z)=M ，y(z+x)／(x+y+z)=N ，
z(x+y)／(x+y+z)=P（作者：lchydp）。

drc2000再来

波斯猫猫 发表于 2021-11-30 11:25
该题已有解答，参见有关贴子。或：

题：解方程组 x(y+z)／(x+y+z)=a，y(z+x)／(x+y+z)=b，z(x+y)／(x+y+ ...

你,也棒棒的!

王守恩

波斯猫猫 发表于 2021-11-30 11:25
该题已有解答，参见有关贴子。或：

题：解方程组 x(y+z)／(x+y+z)=a，y(z+x)／(x+y+z)=b，z(x+y)／(x+y+ ...

接6楼，这样也可以。
\(x=\frac{a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)}{2(a-b-c)}=\frac{(a-b-c)^2-4bc}{2(a-b-c)}\)
\(y=\frac{a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)}{2(b-c-a)}=\frac{(b-c-a)^2-4ca}{2(b-c-a)}\)
\(z=\frac{a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)}{2(c-a-b)}=\frac{(c-a-b)^2-4ab}{2(c-a-b)}\)