f(x)=x^2+|x+a|+a^2－1，是否存在实数 b，使 f(x)^2+2bf(x)-b+1 与 x 轴有 8 个交点?

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f(x)=x^2+|x+a|+a^2－1，问是否存在实数b，使关于x的函数f^(x)+2bf(x)-b+1与x轴有8个交点

drc2000再来

本质上
f(x)=x^2+|x+a|+a^2－1是二次函数

f^(x)+2bf(x)-b+1是四次函数,
四次函数和x轴最多四个交点

drc2000再来

[ lihp2020
有个绝对值 f(x) 就可以有4个交点  发表于 2021-12-1 14:21

非也!非也!
有个绝对值.只不过说明图象分左右来讨论.图象依然和轴交点为2个.
虽然是两抛物线复合成,但"各取一半"
又"各去一半",
故交点不会4个
图象依然和轴交点为2个..
********
需要注意的是,若绝对值改成"+_"复合号,
则有图象没"去一半",
交点会4个

波斯猫猫

题：f(x)=x^2+|x+a|+a^2－1，问是否存在实数b，使关于x的函数f^2(x)+2bf(x)-b+1与x轴有8个交点。
参考思路：记m=|x+a|，c=a^2－1。
原问题即：，问是否存在实数b，使关于x的方程f^2(x)+2bf(x)-b+1=0有8个根。
下面试图寻找该方程有8个根的条件。
由f^2(x)+2bf(x)-b+1=0有，[f(x)+b]^2=b^2+b-1，且使其有不等二实根，
故b^2+b-1＞0，即b＜-(1+√5)/2，或b＞(√5-1)/2。
由f(x)=x^2+|x+a|+a^2－1即f(x)=x^2+m+c有，或f(x)+b=x^2+m+b+c，
故，（x^2+m+b+c）^2=b^2+b-1，
即x^2+|x+a|+a^2－1+b=±√(b^2+b-1)，或x^2±x±a+a^2－1+b±√(b^2+b-1）=0，
或x^2±x+（a±1/2）^2－5/4+b±√(b^2+b-1）=0。
要使上面4个一元二次方程每个方程都有不同二实根，必须判别式△＞0，
即△=1-4[（a±1/2）^2－5/4+b±√(b^2+b-1）]＞0，
或（a±1/2）^2－5/4+b±√(b^2+b-1）＜1/4，
（a±1/2）^2＜3/2-b±√(b^2+b-1）   
对上述关于b的不等式对任意实数a恒成立，解出b的范围即可判断该方程是否有8个根（太繁，还要
考虑3/2-b±√(b^2+b-1）＞0，略。仅代表一种思路）。