在 1～96 的排列中满足 a1＜a2＜…＜ai，ai＞ai+1，ai+1＜ai+2＜…＜a96 的排列有几个

mathch701

在1，2…，96的直線排列\(\left( a_1{,}a_2{,}...{,}a_{96}\right)\)中，滿足條件(*)的排列共有________個？
(*)：恰有一個\(i\in\left\{ 1{,}2{,}....{,}95\right\}\)，使得\(\begin{cases}
a_1<a_2<...<a_i\\
a_i>a_{i+1}\\
a_{i+1}<a_{i+2}<...<a_{96}
\end{cases}\)成立。

王守恩

先从小数算起。

在1,2的直線排列中，滿足條件的排列共有1个：2>1
在1,2,3的直線排列中，滿足條件的排列共有4个:1<2<4>3,1<3>2<4,1<3<4>2,1<4>2<3,
在1,2,3,4的直線排列中，滿足條件的排列共有11个：
在1,2,3,4,5的直線排列中，滿足條件的排列共有26个：
在1,2,3,4,5,6的直線排列中，滿足條件的排列共有57个：

1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519, 131054,
262125, 524268, 1048555, 2097130, 4194281, 8388584, 16777191, 33554406, 67108837,
134217700, 268435427, 536870882, 1073741793, 2147483616, 4294967263, ........

\(a(n)=2^n-n-1\)       n=2,3,4,5,6,7,....

\(a(96)=79228162514264337593543950239\)

lihp2020

这个 你要证明为啥 \(a(n)=2^n-n-1\)

王守恩

lihp2020 发表于 2021-12-4 13:36
这个 你要证明为啥 \(a(n)=2^n-n-1\)

将 n 个不同整数排成一排，每两个数之间有一个不等号(< 或 >)，出现 m 个 ＞ 号的排列有几种？

\(\displaystyle a_{m}(n)=\sum_{k=1}^m\frac{(m - k)^{n+m}(n+m +1)!}{\cos(k\pi) k!(n+m+1-k)!}+m^{n+m}\)

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
{1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519, 131054, 262125,
{1, 11, 66, 302, 1191, 4293, 14608, 47840, 152637, 478271, 1479726, 4537314, 13824739, 4193
{1, 26, 302, 2416, 15619, 88234, 455192, 2203488, 10187685, 45533450, 198410786, 848090912,
{1, 57, 1191, 15619, 156190, 1310354, 9738114, 66318474, 423281535, 2571742175, 1504122952
{1, 120, 4293, 88234, 1310354, 15724248, 162512286, 1505621508, 12843262863, 102776998928,
{1, 247, 14608, 455192, 9738114, 162512286, 2275172004, 27971176092, 311387598411, 320748
{1, 502, 47840, 2203488, 66318474, 1505621508, 27971176092,  447538817472, 6382798925475,
{1, 1013, 152637, 10187685, 423281535, 12843262863, 311387598411, 6382798925475, 114890

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：