实对称矩阵的特征值都是实数，证明过程当中的一个问题。

wufaxian

请看下图。最关键的一点是红线部分，为什么当特征向量是x的共轭，即\(A\overline{ x}\)=\(\overline{\lambda}\overline{x}\)。困惑在于如果λ和x是一对特征值特征向量，那么x共轭对应的特征值就一定是λ的共轭？这必然成立么？书中没有这部分的说明，目前也还没讲复数矩阵。但是这是后面证明步骤的前提。所以不知道这一步本身如何证明？

liangchuxu

实对称矩阵的特征值都是实数，证明过程当中的一个问题。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-12-6 08:58
实对称矩阵的特征值都是实数，证明过程当中的一个问题。

谢谢你的回复。你的推导我看懂了。你回复中最后一行的结论确实得到了证明。

我的困惑在于假设A有特征值λ以及其对应的特征向量x，还有一个特征向量是，为什么这个特征向量\(\overline{ x}\)对应的特征值就一定是\(\overline{λ }\)？而不能是其他特征值？比如是个其他的实数。或即便是复数，但不是一个恰好与λ共轭的复数。

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-12-6 09:43
谢谢你的回复。你的推导我看懂了。你回复中最后一行的结论确实得到了证明。

我的困惑在于假设A有特征 ...

任何一个复数与其共轭复数一一对应。从复数对应的几何坐标表示上看，两者表示点对于虚轴OY对称。如果\(\lambda\)\(\alpha\)的共轭复向量还有另外一个特征值与特征向量，岂不是违背了复数与其共轭的一一对应。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-12-6 10:44
任何一个复数与其共轭复数一一对应。从复数对应的几何坐标表示上看，两者表示点对于虚轴OY对称。如果\(\l ...

我有点没看懂，α在这里代表什么？

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-12-6 16:36
我有点没看懂，α在这里代表什么？

\(\alpha\)为特征值为\(\lambda\)的特征向量呀。向量各分量元素是数，须符合共轭性质。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-12-6 21:12
\(\alpha\)为特征值为\(\lambda\)的特征向量呀。向量各分量元素是数，须符合共轭性质。

“ 如果λα的共轭复向量还有另外一个特征值与特征向量，岂不是违背了复数与其共轭的一一对应。”

共轭复数确实存在一一对应。但是这与特征值和特征向量有什么关系呢？我思路卡在这里了。

liangchuxu

举个例子。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-12-7 08:04
举个例子。

谢谢回复。我看了一下截图，难道A和B不是完全一样的矩阵么？

liangchuxu

抱歉，矩阵画图不方便，画错了。给个手写。