△ABC，AB=AC=8，BC=6，O是BC中点，D、E分别是AO、AC上两点，AD=CE，求BD+BE的最小值

uk702

等腰△ABC中，AB=AC=8，BC=6，O是BC的中点，D、E分别是AO、AC上的两点，且AD=CE，连接BD、BE，求BD+BE的最小值。

Ysu2008

uk702

在 Ysu2008 的启发下，楞凑了一个解法。

过A作AF⊥AE，且AF=BO，在 AC 上截取 AI 使得 AI=OD，
则由于AI=OD，AF=OB，∴△BOD≌△FAI
∴FI=BD，IE=AC-AO 为定值。

作BK//AE且BK=IE，易知 K 为定点。
故所求 BD+BE=KI+IF，
而 K、F 为两定点，而 I 在直线 AC 上，
因此 KI+IF 的最小值在 K、I、F 三点共线时取得，最小值 = 长度(KF)。

王守恩

AB=AC=8，BC=6，BD+BE的最小值=10，熟悉的数字，楞有：
\(AB=AC=a，BC=b，BD+BE的最小值=\sqrt{a^2+b^2}\)


\(证：已知AB=1\ \ \ \ ∠ECB=\theta\ \ \ \ \ \ \ 记∠EBC=a\)

\(BE+BD=\frac{2\cos(\theta)\sin(\theta)}{\sin(\theta+a)}+\sqrt{\cos^2(\theta)+\bigg(\sin(\theta)-\frac{2\cos(\theta)\sin(a)}{\sin(\theta+a)}\bigg)^2}\)

\(BE+BD\ 最小值=\sqrt{1^2+4\cos^2(\theta)}\)

uk702

(这么简单，咋就想不到呢！笨蛋了)

过C作JC⊥BC，JC=AB，易知有∠JCE=∠BAD
∴JCI=AB， CE=AD，∠JCE=∠BAD
∴△ADB≌△CEJ  ∴BD=JE
∴CJ=AB=8，CB=6，∠JCB=90°
∴BJ=10
∴ BD+BE=BE+JE ≧BJ=10

王守恩

uk702 发表于 2021-12-15 08:49
(这么简单，咋就想不到呢！笨蛋了)

过C作JC⊥BC，JC=AB，易知有∠JCE=∠BAD

别生气，做题目就得这样做。
条件DA=EC变一下(其余不动):
DA=EA,DO=EC,DO=EA,DA+EC=AO,DA+EA=AO,DO+EC=AO,..
求BD+BE最小值或求最大值。出题目的喜欢把简单的搞复杂，做题目的就是把复杂的回归简单。