5 实数、数轴、函数的唯物辩证法概念简述

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5 实数、数轴、函数的唯物辩证法概念简述
根据前一节的讨论，不仅米尺的十等分点做不准，而且测量线段长度时，移动米尺的端点也无法绝对准标出，因此，线段长度具有测不准的性质。爱因斯坦根据量子力学的测不准原理，提出过“任何计时器也不可能测出那样短的时间，例如一亿亿亿分之一秒；对长度来说也是如此，一厘米的一亿亿亿分之一也是测不出来的[7]”的论述是正确的。这说明：在表示角度、时段长、线段长度上，可以有最小的长度度量单位，但是，在不同情况下，最小长度单位可以不同。例如在使用米尺的通常刻度时，可以取千分之一米作为最小长度的度量单位；在纳米技术下，可以取10的负九次方之一米作为最小长度单位。这时，使用0.3333333333米或0.3333333334 米表示三分一米就可以了。虽然现实的线段与度量工具都具有热胀冷缩性质，度量工作中使用的点有大小，线段长度具有测不准性质，但在忽略足够小误差的意义下，可以说：毕达哥拉斯定理提出之前就有了“现实数量的大小（包括现实线段长度）具有可变性、测不准性；但在忽略微小误差的意义下，可以认为：每一个现实线段都有确定的绝对准大小。线段长度的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数”的古代的实数概念。毕达哥拉斯定理就是在这个实数概念下，首先承认：可以画出绝对准的直角，可以用实数绝对准表示线段长度，即可以使用a，b，c 三个符号表示三边长后，使用形式逻辑方法推出毕达哥拉斯定理的。但那时理想实数只包含十进小数与有理数，所以就出现了“无理数√2无法表示为有理数”的第一次数学危机。关于这次危机，公元前就存在着柏拉图、芝诺、亚里士多德、欧几里德的不同观点的争论，公元前六世纪印度人提出过 近似等于1.41421356 表达式，但现行的《初等代数研究》教科书上册 87页提出了“称十进小数 为实数[8]”的定义。这个定义使用了“无限是完城了的整体”的违背事实的实无穷观点，所以这个定义是错误的。应当根据“理想与现实、无限与有限的对立统一法则”提出如下的实数定义与公理。
定义4（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度、角度大小）具有可变性、测不准性；但在相对性与暂时性的忽略微小误差的意义下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段长度、角度大小）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 ）。
公理1（实数公理）：每一个理想实数 都存在着以它为趋向性极限的康托尔的以有理数（包括无尽小数）为项的基本数列，除0以外的每一个理想正实数 都存在唯一的满足条件 的，以n位十进小数 为通项的、理想实数 的不足近似值的康托儿基本数列，这个基本数列可以简写为无尽小数。与文献[9]87页的：“称无尽小数为实数”的定义不同，根据通项满足的条件，就可以知道：无尽小数的趋向性极限才真正是理想实数。所有无尽小数都具有“①无尽是按照一定法则无限延续下去的意义；②无限延续是永远延续不到底的操作”两个性质。这些基本数列收敛于这个理想实数 。反之，每一个康托尔实数理论中基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列），都有无限延续下去的通项表达式，都存在一个唯一的理想实数 （简称为实数）为其极限，而且等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同。
根据前述实数的性质，可以提出如下理想实数集合的构造过程表。
显然，当 时， 中左、右两边的元素，其极限分别为 、 。又根据无尽小数与理想实数的关系，可知表中有整数部分为0的、小数点后有 个3的十进小数为项的无穷数列，其极限是理想有理数 ；同理， 序列中也有极限是无理数的以十进小数为项的无穷数列。从表1可以看出， 的极限为理想无穷大 。所以，类似于自然数、有理数集合的广义极限性构造法则，表1中的Sn被叫做n位十进小数表示的实数集合；序列 的广义极限是包含所有理想实数的，元素个数为 的理想性质的非正常集合，简称为理想实数集合。这个集合也具有不能构造完毕的理想性质，
关于数轴的概念问题，在文献[9]中评论到：“我们不要为实数的名称所愚弄，实数集纯粹是数学家的创作，它可以是也可以不是现实空间中直线的精确写照……，我们无法识别现实空间中的直线真正是什么，它可以是超实数线、实数线或者两者都不是[9]”。这个文献是按照《非标准分析》 写出的数学分析（Elementary Calculus），它把现行教科书中数轴上的每一个点都看作一个与实数对应一个非标准分析中的单包，这个单包中包含着与这个实数相差为（实）无穷小数的非标准实数域中的超实数。由于现行实数理论中存在着着与0无限接近的实数，不可能再有《非标准分析》中的（实）无穷小数，所以笔者不同意它的超实数线的说法；同时，根据上述唯物辩证法下的实数理论，笔者在文献[6]中提出了理想与近似相互依存的数轴概念。关于函数的概念，笔者在文献[6]中提出了如下的理想函数函数与全能近似函数的定义。
定义5（理想函数的定义） 给定两个理想实数集合D、M，若按照某一确定的对应法则f，D 内每一个理想实数x有唯一的一个理想实数y∈M与它相对应，则称f是确定在理想数数集D上的理想函数。记作f : D→M。 其中集D 称为理想函数的定义域，D中的任一理想实数x根据法则f 对应的y, 记作f(x), 称为f 在x的理想函数值。全体函数值的集合M称为理想函数f(x) 的值域。
这个定义与现行教科书中的函数定义的不同之处是：对实数、函数都加上了“理想”的定语，根据理想与现实的对立统一关系，研究函数时，还需要知道“自变量与函数值需要使用近似方法描述”。
定义6(好函数与全能近似函数序列)  处处具有足够阶数的、连续导数的理想函数为最好函数；逐段具有足够阶数的、连续导数的理想函数为好函数。若有含参变量的好函数序列或幂级数、傅立叶级数的前n项和的序列度量收敛于理想函数 ，则称这样的序列为 的全能近似函数序列，简称为理想函数 的全能近似函数；并将这样的序列，在满足一定的误差界要求处截断后得到的函数，叫做理想函数 的近似函数。
这个定义中的近似函数与全能近似函数，在解决理想函数的不可导、发散积分、交换积分顺序、方程求解、求积分变换、奇异分布、海涅定理、不可求长曲线存在与否等问题的研究中都有应用（详见论述，请参看文献[6]）。

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定理：曹俊云是个无怨无悔死心塌地的资深二百五。
证明：在曹俊云所说的曹俊云所谓的“改革”“依赖真理”“会成功”的前提下，曹俊云半途而废，就是曹俊云愚蠢！曹俊云就是二百五！
“恩格斯的一段话”、“茅以升的话”、对立统一、庄子的一尺之锤、幻想与现实、无穷是写不完、走不过去回头看看、实践、辩证法、太极图、曹俊云的小孙子及其教师、小学课本，形式逻辑与辩证逻辑等等都在帮助曹俊云或者支撑曹俊云的改革，如果曹俊云的的改革再停止不前或不成功，曹俊云就是扶不起的阿斗，曹俊云就是糊不上墙的烂泥巴，曹俊云就是二百五！

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1楼是使用马克思、恩格斯数学论述的唯物辩证法的实数、函数概念。 这个定义中的近似函数与全能近似函数，在解决理想函数的不可导、发散积分、交换积分顺序、方程求解、求积分变换、奇异分布、海涅定理、不可求长曲线存在与否等问题的研究中都有应用（详见论述，请参看文献[6]）。

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elim 歪曲了马克思《数学手稿》1-24页对极限方法 对1被3除法运算的论述。

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elim 歪曲了马克思《数学手稿》1-24页对极限方法 对1被3除法运算的论述。1被3除除不尽，2的开方运算开不尽，无穷、无尽都是无有终了的意思，所有无尽小数都具有算不到底、写不到底的事实，都不是定数，都是无穷数列性质的变数，其极限才是实数。 现行数学理论的阐述需要改革。 球面积公式是在理想几何元素下使用形式逻辑推导出来的。理想球面与现实球面之间具有对立统一关系。