已知 by／z+cz／y=a ，cz／x+ax／z=b ，ax／y+by／x=c ，abc=1 ，求 a^3+b^3+c^3

波斯猫猫

一个数学题的妙解 (2021-12-16 08:28:08)[编辑][删除]转载▼

题：已知 by／z+c z／y=a ，c z／x+ax／z=b ，ax／y+by／x=c ，abc=1 ，
     
      求yz/x^2+zx/y^2+xy/z^2 和a^3+b^3+c^3的值。

      思路：（1）把by／z+c z／y=a ，c z／x+ax／z=b ，ax／y+by／x=c 依次排成

Aa+Bb+Cc=0型的齐次线性方程组，因abc=1 ，故其系数行列式

D=1+yz/x^2+zx/y^2+xy/z^2=0，即yz/x^2+zx/y^2+xy/z^2=-1。

      （2）由by／z+c z／y=a 有，b^2y^2／z^2+2bc+c ^2z^2／y^2=a^2，

即ab^2y^2／z^2+ac ^2z^2／y^2=a^3-2。

同理，bc^2z^2／x^2+ba^2x^2／z^2=b^3-2，ca^2x^2／y^2+c b^2y^2／x^2=c^3-2。

       另一方面，上述三个方程又可化为：

by^2+c z^2=yza，ax^2+c z^2=zxb，by^2+ax^2=xyc，

故a^3+b^3+c^3-6=bc(by^2+c z^2)/x^2+ac(ax^2+c z^2)/y^2+ab(by^2+ax^2)/z^2

    =abc(y z)/x^2+abc(x z)/y^2+abc(yx)/z^2

    =yz/x^2+zx/y^2+xy/z^2=-1，即a^3+b^3+c^3=5。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

下面是我的另一种解答：

波斯猫猫

思路（书写更简洁）：（1）令y／z=k，z／x=e，x／y=r，则ker=1，且三个方程变成

kb+c／k=a ，ec +a／e=b ，ra+b／r=c。将这三个方程 依次排成

Aa+Bb+Cc=0型的齐次线性方程组，因abc=1 ，故其系数行列式

D=1+e/r+r/k+k/e=0，即ke^2+er^2+rk^2=-1。

      （2）由kb+c／k=a 有，k^2b^2+2bc+c ^2／k^2=a^2，

即ak^2b^2+ac ^2／k^2=a^3-2。

同理，bc^2e^2+ba^2／e^2=b^3-2，ca^2r^2+c b^2／r^2=c^3-2。

       另一方面，上述三个方程又可化为：

bk^2+c =ka，ce^2+a=eb，ar^2+b=rc，

故a^3+b^3+c^3-6=ak^2b^2+ac ^2／k^2+bc^2e^2+ba^2／e^2+ca^2r^2+c b^2／r^2

    =abk^2(ar^2+b)+bc 2e^2(bk^2+c)+car^2(c e^2+a)

    =abck^2r+abce^2k+abcr^2 e=ke^2+er^2+rk^2=-1，即a^3+b^3+c^3=5。

注：这样书写更简洁。目前在网上只能搜索到此题，但无解答。

波斯猫猫

由abc=1 ，已求出了a^3+b^3+c^3=5。能否再求出一个a，b，c的关系式？若能，就可求出a，b，c的值。