矩阵开矩阵'次'根 \(\sqrt[B]{A}\)

elim

题： 计算 \(\sqrt[\begin{bmatrix}2&-1\\-3&2\end{bmatrix}]{\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}}\)
解： 首先解读上式：\(\sqrt[\begin{bmatrix}2&-1\\-3&2\end{bmatrix}]{\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}}=e^{\left(\log \begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}\right)\begin{bmatrix}2&-1\\-3&2\end{bmatrix}^{-1}}\)
\(\qquad e^A=\small\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}A^n\;\quad(A^0=I).\quad X=\log A\) 是方程\(\small A=e^{X}\) 的解
\(\because\quad\small\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&3\end{bmatrix}^{-1},\quad\begin{bmatrix}2&-1\\-3&2\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}\)

\(\therefore\;\;\small\log\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=(\log 2)\begin{bmatrix}0&0\\-3&1\end{bmatrix}\;\;(e^{T^{-1}AT}=T^{-1}e^A T)\)

\(\quad\sqrt[\begin{bmatrix}2&-1\\-3&2\end{bmatrix}]{\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}}=e^{(\log 2)\begin{bmatrix}0&0\\-3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}}=e^{\begin{bmatrix}0&0\\-3\log 2&-\log 2\end{bmatrix}}\)
\(\quad =e^{\begin{bmatrix}1&0\\-3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0\\0&-\ln2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-3&1\end{bmatrix}^{-1}}=\small\begin{bmatrix}1&0\\-3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0\\0&2^{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-3&1\end{bmatrix}^{-1}\)
\(\quad=\small\begin{bmatrix}1&0\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}\)

注记：可以证明\(\,\det A\ne 0\implies \log A\,\)存在(不唯一，可考虑主值...).
\(\qquad\)这种东西在向量微分方程及泛函算子理论中有应用

drc2000再来

大神啊大神,
一个字,强!
二个字,特强!
三个字,特别强!

drc2000再来

依照思路,该有矩阵的三角函数,
进一步,若可整出个偏序关系,会产生极限,
从而产生矩阵的分析,矩阵的微积分...
真是太不可思异啦!

Nicolas2050

:lol搬运油管一个MIT博士的题。

elim

题： 设\(\,A= I + K,\;\; K = \lambda\big(\delta(j-i-1)\big)_{n\times n},\;\delta(x)=\small\begin{cases}0,& x\ne 0,\\ 1,& x=0.\end{cases}\)
\(\quad\) 试证\(\; A = e^B,\;\;B=\small\displaystyle\sum_{m=1}^{n-1}\frac{(-1)^{m-1}}{m}K^m\)

Nicolas2050

油管MIT博士证据。

elim

Nicolas2050 发表于 2021-12-18 04:51
油管MIT博士证据。

见过油管这个标题．如何求一般可逆阵的对数，也可试着找找看？

Ysu2008

elim 发表于 2021-12-18 22:25
见过油管这个标题．如何求一般可逆阵的对数，也可试着找找看？

他怀疑你也是民科。谁叫你成天跟民科一起玩，让人误会了吧。

elim

题：试证 \(\sqrt[\large\begin{bmatrix}0&1/2\\1&0\end{bmatrix}]{\small\begin{bmatrix}\cosh 2&\frac{1}{2}\sinh 2\\2\sinh 2&\cosh 2\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}e&0\\0&e^2\end{bmatrix}^2\)