向量 AP=(-4,5,-2)，BP=(1,-2,2)，CP=(-6,-5,4)，求 α,β 使 ｜CP-αAP-βBP｜ 最小

wintex

75211 請問向量

elim

提示：
\((\mathbf{w}-\alpha\mathbf{u}-\beta\mathbf{v})\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=0\) 的解\((\alpha,\beta)\) 使 \(|\mathbf{w}-\alpha\mathbf{u}-\beta\mathbf{v}|\) 成为
\(\mathbf{w}\) 到它在\(\mathbf{u},\; \mathbf{v}\) 所确定的平面的垂足的距离．

elim

具体到主贴题设，有以下计算：
\(\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(-4,5,-2)\times(1,-2,2)=(6,6,3),\quad\mathbf{w}=(-6,-5,4),\)
\(\mathbf{w}-\alpha\mathbf{u}-\beta\mathbf{v}=(4\alpha-\beta-6,2\beta-5\alpha-5,2\alpha-2\beta+4)\)
令 \((4\alpha-\beta-6,2\beta-5\alpha-5,2\alpha-2\beta+4)\times(6,6,3)\)
\(=(-27\alpha+18\beta-39,-9\beta+42,54\alpha-18\beta-6)=0\)
解得\(\,(\alpha,\beta)=\frac{1}{3}(5,14),\quad \alpha-\beta=\small-3.\)

elim

王守恩老师可以用 Mathematica 验证这个结果。或者提供其他解法。

wintex

elim 发表于 2021-12-21 00:51
王守恩老师可以用 Mathematica 验证这个结果。或者提供其他解法。

答案是給 －3，不知道為什麼

elim

王守恩老师看看？

波斯猫猫

题：设向量 AP=(-4,5,2)，BP=(1,-2,2)，CP=(-6,-5,4)，且｜CP-xAP-yBP｜有最值，求x-y的值。

思路：由条件易算得，

z=｜CP-xAP-yBP｜=｜（4x-y-6，-5x+2y-5，2x-2y+4）｜
                    
=√[(4x-y-6)^2+(-5x+2y-5)^2+(2x-2y+4)^2]
                    
= √[45x^2+9y^2-36xy+18x-24y+77]     

因 z=  √[45x^2+9y^2-36xy+18x-24y+77] 有最值，故其偏导数的关系组满足，

90x-36y+18=0，18y-36x-24=0 ，解得x=5/3，y=14/3 。故x-y=-3 。           

luyuanhong