\(\alpha h^2+2\beta hk+rk^2\) 为什么是\(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\) 的高阶无穷小？

wufaxian

\(\alpha h^2+2\beta hk+rk^2\) 为什么是\(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\) 的高阶无穷小？

请看下图红色箭头所指。之所以引出高阶无穷小。就是想说明当h 和k趋于0时，\(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\)趋于零，因此\(\alpha h^2+2\beta hk+rk^2\) 是\(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\)高阶无穷小。因此也趋于零。难道不能直接证明\(\alpha h^2+2\beta hk+rk^2\)在h和k趋于零的时候也趋于零么？

elim

\(\because\;2|hk|\le h^2+k^2,\;|\alpha h^2+2\beta hk+ \gamma k^2|\le 2M(h^2+k^2)\)
\(\,\small(M=\max\{|\alpha|,|\beta|,|\gamma|\}).\)于是\(\small\dfrac{|\alpha h^2+2\beta hk+\gamma k^2|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le 2M\sqrt{h^2+k^2}.\)

wufaxian

elim 发表于 2021-12-22 08:01
\(\because\;2|hk|\le h^2+k^2,\;|\alpha h^2+2\beta hk+ \gamma k^2|\le 2M(h^2+k^2)\)
\(\,\small(M=\ma ...

不太明白你的回复。

elim

wufaxian 发表于 2021-12-22 01:04
不太明白你的回复。

最后一个不等式可以推出 \(\displaystyle\lim_{|(h,k)|\to 0}\frac{|\alpha h^2+2\beta hk+\gamma k^2|}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\)

复习高阶无穷小的定义.

wufaxian

elim 发表于 2021-12-23 08:28
最后一个不等式可以推出 \(\displaystyle\lim_{|(h,k)|\to 0}\frac{|\alpha h^2+2\beta hk+\gamma k^2| ...

谢谢回复。两个问题。
1、在截图的讨论中，证明前者是后者高阶无穷小的必要性是什么？如果仅仅是为了说明\(\alpha h^2+2\beta hk+rk^2\)在h和k趋于零的时候也趋于零么？似乎没有必要引入无穷小。
2、如果\(\alpha h^2+2\beta hk+rk^2\)  中\(\tau\alpha\beta\)都等于1，那么显然是后者的高阶无穷小。但是这三者不为1的化。就不容易提取出\(h^2+k^{ 2}\)。可以配方。但是会遗留一个 k^{ 2}\)项在分子上----不知道该如何处理。

elim

(1) 两个无穷小 u, v，如果 如果 u/v 趋于 0， 那么 u 就是 v 高阶的无穷小。 这点需要弄清楚。

(2) 我得到的不等式不论 \(\alpha,\beta,\gamma\) 怎么取值都是成立的。

wufaxian

elim 发表于 2021-12-23 08:52
(1) 两个无穷小 u, v，如果 如果 u/v 趋于 0， 那么 u 就是不 v 高阶的无穷小。 这点需要弄清楚。

(2)  ...

(1)lim(u/v)=0,u是v的高阶无穷小。可是这个跟上一贴第一问有什么关系呢？我有点没跟上你的思路。
(2)这个问题为什么会涉及到不等式呢？

elim

u,v 取 4 楼极限式中的分子分母，你就看到关系了。
这个不等式使得 u/v 的极限被夹逼为 0

wufaxian

elim 发表于 2021-12-22 08:01
\(\because\;2|hk|\le h^2+k^2,\;|\alpha h^2+2\beta hk+ \gamma k^2|\le 2M(h^2+k^2)\)
\(\,\small(M=\ma ...

谢谢回复，2#的内容我看懂了。当h，k趋于零的时候
\(\sqrt{h^2+k^2}\) 趋于零，由夹逼定理可知
\(\frac{\mid\alpha h^2+2\beta hk+\gamma k^2\mid}{\sqrt{h^2+k^2}}\)也趋于零。证明了分子是分母\(\sqrt{h^2+k^2}\)的高阶无穷小。

但是有一点疑惑的以上逻辑为什么不适用于截图倒数第二行的\(Ah^2+2Bhk+Ck^2\)。他为什么不是\(\sqrt{h^2+k^2}\)的高阶无穷小？

elim

wufaxian 发表于 2021-12-23 04:42
谢谢回复，2#的内容我看懂了。当h，k趋于零的时候
\(\sqrt{h^2+k^2}\) 趋于零，由夹逼定理可知
\(\frac ...

|u| 是 v 的高阶无穷小，那么 u 也是：

因为   \(-|u|/v \le u/v \le |u|/v\)