求介于 √433 与 √434 之间，分母最小的最简分数 q／p（其中 p,q 为互质正整数）

wintex

分數問題

ly1234lyj

229/11 从分母34开始往回试出来的等大佬

yaos

Julia代码

1. function sqrt2cf(n, t)
   
2.     cf_list = []
   
3.     f = sqrt(big(n))
   
4.     for i in range(1, stop=t)
   
5.         m = BigInt(floor(f))
   
6.         push!(cf_list, m)
   
7.         f = 1.0/(f-m)
   
8.     end
   
9.     return cf_list
   
10. end
    
11. 
    
12. println(sqrt2cf(433, 10))
    
13. println(sqrt2cf(434, 10))
    

复制代码

求俩平方根的连分数
前10个分别是
[20, 1, 4, 4, 2, 2, 1, 3, 13, 1]
[20, 1, 4, 1, 40, 1, 4, 1, 40, 1]
故，最小分母形式，介于
[20, 1, 4, 4]
[20, 1, 4, 1]
之间
简单计算表明
[20, 1, 4, 2]满足要求，即为229/11

王守恩

yaos 发表于 2021-12-21 09:44
Julia代码

求介于 √420 与 √421 之间，分母最小的最简分数 q／p（其中 p,q 为互质正整数）

ly1234lyj

41/2
#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int a=0;
    int b=0;
    //cout << a ;
    for(a=0;a<100;a++)
    {
     //   cout<<a;
        for(b=a*20;b<a*21;b++)
        {
            //cout<<a;
            if(420*a*a<b*b && 421*a*a>b*b)
            {
                cout<<a<<" "<<b;
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}

波斯猫猫

题：求介于 √433 与 √434 之间，分母最小的最简分数 q／p（其中 p,q 为互质正整数）。

思路：令0＜r＜1，使得r满足√（400+33）＜20+r＜  √（400+34 ），或33＜40r+r^2 ＜ 34，

或（32+1-r^2）/40＜r＜（ 32+2-r^2）/40，即4/5+（1-r^2）/40＜r＜4/5+（2-r^2）/40。

经考查，只有r=9/11满足4/5+（1-r^2）/40＜9/11＜4/5+（2-r^2）/40。

故，所满足条件的 q／p=20+r=20+9/11=229/11。

王守恩

求介于 \(\sqrt{n}\) 与 \(\sqrt{n+1}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n)。

先从简单算起。
a(0)=2
a(1)=3
a(2)=2
a(3)=4
a(4)=5
a(5)=3
a(6)=2
a(7)=3
a(8)=6
a(9)=7
......
得到这样一串数:
{2, 3, 2, 4, 5, 3, 2, 3, 6, 7, 4, 3, 2, 3, 4, 8, 9, 5, 3, 5, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 6, 4,
  3, 5, 2, 5, 3, 4, 6, 12, 13, 7, 5, 4, 3, 7, 2, 5, 3, 4, 5, 7, 14, 15, 8, 5, 4, 3, 5,
  7, 2, 5, 3, 7, 4, 6, 8, 16, 17, 9, 6, 5, 4, 3, 5, 7, 2, 5, 8, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 19,}
通项公式是这样：
Table[k=2; While[Count[Range[n*k^2+1, (n+1)k^2-1], j_ /; IntegerQ@Sqrt[j]]==0, k++]; k, {n,0,81}]

特别地，介于 \(\sqrt{433}\) 与 \(\sqrt{434 }\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=11。
k=2; While[Count[Range[433k^2+1, 434k^2-1], j_ /; IntegerQ@Sqrt[j]]==0, k++]; k

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-23 09:03
求介于 \(\sqrt{n}\) 与 \(\sqrt{n+1}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n)。

先从简单算起。

求证: 介于 \(\sqrt[n]{\lfloor\frac{8^n}{7^n}\rfloor+1}\) 与 \(\sqrt[n]{\lfloor\frac{8^n}{7^n}\rfloor}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=7，n=8,9,10,11,12,....

王守恩

还是有一些规律的。

求介于 \(\sqrt{n^2}\) 与 \(\sqrt{n^2+1}\) 之间的分数 \(\frac{q}{p},\ p\) 最小=a(n^2)。

先从简单算起。
a(1^2)=3
a(2^2)=5
a(3^2)=7
a(4^2)=5
a(5^2)=9
a(6^2)=11
a(7^2)=13
a(8^2)=15
a(9^2)=17
......

\(一般地，求介于 \ \sqrt[k]{n^k}\) 与 \(\sqrt[k]{n^k+1}\  之间的分数 \ \frac{q}{p},\ p\ 最小=a(n^k)=k*n^{k-1}+1。\)