ABCD为正方形，E,F在CD,BC上，∠EAF=45°，AE,AF交BD于E1,F1，求证：SΔAEF=2SΔAE1F1

kanyikan

luyuanhong

kanyikan

用初中的方法更受欢迎

uk702

有些麻烦，估计会有更简单的方法。

如图，将ABF旋转90°到ADK，则易知△AFE≌△AKE，
且有：
1）FK过点E1（设D关于E1的对称点G，则△GFE1≌DKE1）；
2）F与K关于AE对称，∴AE1⊥KF；
3）过D作BD的垂线交AK于I，则KI=FF1，AI=AF1，∴IF1//KF；
4)设 IF1交AE于J，则J是AE的中点（AF1EI是正方形）

∴S△F1FE1=S△FJE1
∴S四边形F1FEE1=S△FJE=S△FJA
而由S△F1JF=S△F1JE1 => S△FAJ=S△AF1E1
∴S△F1AE1=S四边形F1FEE1

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-12-23 17:30

我们要的是方法。3楼的图。谢谢陆老师！

\(k=\frac{SΔAEF}{SΔAE_{1}F_{1}}=\frac{AE*AF*\sin(45^\circ)}{AE_{1}*AF_{1}*\sin(45^\circ)}=\frac{AE*AF*\sin(45^\circ)}{\big(AE*\frac{\sin(45^\circ+\theta)}{\sin(45^\circ+\theta)+\sin(45^\circ-\theta)}\big)*\big(AF*\frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}\big)*\sin(45^\circ)}\ \ 化简可得k=2\)

\(BD是∠ADE的平分线，AE_{1}=AE*\frac{DA}{DA+DE}=AE*\frac{\sin(45^\circ+\theta)}{\sin(45^\circ+\theta)+\sin(45^\circ-\theta)}\)

\(BD是∠ABF的平分线，AF_{1}=AF*\frac{BA}{BA+BF}=AF*\frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}\)

\(在这里，45^\circ被分成\theta+(45^\circ-\theta),当然,45^\circ可以有多种分法,\)我们要的是方法！

uk702

#5 可简化如下。

uk702

uk702 发表于 2021-12-24 05:55
#5 可简化如下。

∵∠FAH=∠FBH=45°，∴ AHFB 四点共圆，∴∠AHF=90°，
∴△AHF是等腰直角三角形。