计算 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[\large x^2]{\cos x}\)

elim

题：计算 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[\large x^2]{\cos x}\)

liangchuxu

运用洛必塔法则。

王守恩

我只是凑凑热闹。

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[\large x^2]{\cos x}=\lim_{x\to\infty}\cos^{x^2}\big(\frac{1}{x}\big)=\sqrt{\frac{1}{e}}=0.6065306597126334236\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[\large x^a]{\cos x}=1\ \ 在这里a<2\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[\large x^a]{\cos x}=0\ \ 在这里a>2\)

elim

\(x^{-\alpha}\ln(1-(1-\cos x))=-\dfrac{1-\cos x}{x^\alpha}+O(x^{4-\alpha})\)
\(\sim-\frac{1}{2}x^{2-\alpha}+O(x^{4-\alpha})\to\small\begin{cases}-\frac{1}{2},& \alpha=2,\\ \quad 0,& \alpha < 2,\\ -\infty,& \alpha>2.\end{cases}\;\;(x\to 0^+)\)

所以楼上结果基本上是正确的.

liangchuxu

elim 发表于 2021-12-25 13:14
\(x^{-\alpha}\ln(1-(1-\cos x))=-\dfrac{1-\cos x}{x^\alpha}+O(x^{4-\alpha})\)
\(\sim-\frac{1}{2}x^{2 ...

你的方法显得更漂亮。

liangchuxu

王守恩 发表于 2021-12-25 12:06
我只是凑凑热闹。

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[\large x^2]{\cos x}=\lim_{x\to\infty}\cos^{x^2 ...

不简单，视野开阔！

luyuanhong

楼上各位的解答已收藏。

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-25 12:06
我只是凑凑热闹。

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt[\large x^2]{\cos x}=\lim_{x\to\infty}\cos^{x^2 ...

我只是凑凑热闹(内心深处还是想讨教)。

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\ \sqrt[x^2]{\cos\big(\frac{ax}{b}\big)}=\lim_{x\to\infty}\cos^{x^2}\big(\frac{a}{bx}\big)=\sqrt{\big(\frac{1}{e}\big)^{(\frac{a}{b})^2}}=\big(\frac{1}{\sqrt{e}}\big)^{(\frac{a}{b})^2}=\big(\frac{1}{e}\big)^{\frac{a^2}{2b^2}}=e^{\frac{-a^2}{2b^2}}\)

\(\displaystyle 譬如：\lim_{x\to 0}\ \sqrt[x^2]{\cos(\sqrt{2}x)}=\frac{1}{e}\)

\(\displaystyle 譬如：\lim_{x\to 0}\ \sqrt[x^2]{\cos(\sqrt{2\pi}ix)}=e^{\pi}\)

elim

\(\displaystyle\lim_{x\to 0} \sqrt[\Large x^2]{\cos(\lambda x)} = \exp\left(\lim_{x\to 0}x^{-2}\ln(1-(1-\cos(\lambda x)))\right)\)
\(\quad =\displaystyle\exp\left(-\lambda^2\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(\lambda x)}{(\lambda x)^2}\right)=\exp\big(-\frac{\lambda^2}{2}\big)\)

王守恩

elim 发表于 2021-12-28 08:53
\(\displaystyle\lim_{x\to 0} \sqrt[\Large x^2]{\cos(\lambda x)} = \exp\left(\lim_{x\to 0}x^{-2}\ln(1 ...

\(\displaystyle 譬如：\lim_{x\to 0}\ \sqrt[x^2]{\cos(\sqrt{3\ln(4)}\ x)}=\frac{1}{8}\)

\(\displaystyle 譬如：\lim_{x\to 0}\ \sqrt[x^2]{\cos(\sqrt{6\ln(5)}\ i\ x)}=125\)