求下列三元丢番都方程的正整数解：a／(b+c)+b／(a+c)+c／(a+b)=4

天山草

史上最贱的数学题，几乎无人能解。摘自西瓜视频

求下列三元丢番都方程的正整数解：

\( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=4\)


西瓜视频里那位老师只是介绍了一下大概方法，有几个关键点根本没有讲清楚。估计讲了听众也没人会懂，其中一个是把原方程降为二元方程的方法，如何求这个二元方程的整数解。另一个是椭圆曲线的基本知识。

lihp2020

我也看过这个  好像结果是一个几十位数

天山草

答案是：

a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898\
253202035277999;
b = 368751317941299998271978115652254748254929799689719709962831374716\
37224634055579;
c = 437361267792869725786125260237139015281653755816161361862143799337\
8423467772036;

波斯猫猫

看似一个小小泳池，实乃深渊！

波斯猫猫

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史上最贱的数学题 | Alon Amit
袁岚峰
袁岚峰
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峰回路转，非常人能为。有的部分亦非人力可为。

天山草

网上也有这个问题的介绍：https://blog.csdn.net/BULpreZHt1ImlN4N/article/details/81213105

据西瓜视频那位老师说，要解原方程，可以先解一个二元的丢番都方程：

\( y^2=x^3+109x^2+224x  \)

这个方程有无穷多组解，其中一组解是  \( x=-100, \quad  y=260  \)，然后代入下面各式求出 a、b、c：
\(a = (56 - x + y)/(56 - 14 x);  b = (56 - x - y)/(
56 - 14 x);   c = (-28 - 6 x)/(28 - 7 x);  \)
求得   \( a=2/7, \quad  b=-1/14, \quad  c=11/14  \)，然后把它们都扩大 14 倍得到
  \( a=4, \quad  b=-1, \quad  c=11  \)。它们虽然能满足原方程，但是不符合全是正整数的要求。
为此要利用椭圆曲线的什么性质把上述整数解变换成为正整数解。

天山草

如何把原方程变换成二元的等价方程？ 作代换 (至于这个代换式是怎么来的，就要学点代数几何)
\(x = (-28 (a + b + 2 c))/(6 a + 6 b - c), \quad  y = (364 (a - b))/(
6 a + 6 b - c)\)
由此可解出 \(  b = -((a (-x - y + 56))/(x - y - 56)),  \quad   c = -(( 4 a (3 x + 14))/(-x + y + 56))\)
于是  \(a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b)=\)
\(=(4 (260 x^3 + 455 x^2 - x (y^2 - 20384) - 35 y^2))/((x - 56) (13 x -  y) (13 x + y)) \)，
因为 \(a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b)=4\)
所以  \(260 x^3 + 455 x^2 - x (y^2 - 20384) - 35 y^2 = (x - 56) (13 x - y) (13 x + y)\)
化简得  \( y^2 = x^3 + 109 x^2 + 224 x \)

波斯猫猫

看看不定方程（b+c）/a十（c十a）/b+（a十b）/c=11的正整数解。它与主帖表述的是同一个问题。

天山草

在椭圆曲线上的 P (-100,260) 作曲线的切线，与曲线的右支交于 A 点，再作 A 点关于横轴的镜像点 P1，

根据椭圆曲线的性质，P1 点的坐标也一定是个有理数。事实上 P1 (8836/25，-950716/125 )。



由这个新的点  P1 (8836/25，-950716/125 ) 可算出 \(a, b, c \) 的新一轮值。

将 \(x=8836/25, y=-950716/125\)  代入 \( a = (56 - x + y)/(56 - 14 x);  b = (56 - x - y)/(
56 - 14 x);   c = (-28 - 6 x)/(28 - 7 x) \) 得到

\(a=1357/840, \quad b=-366/245, \quad  c=1033/1176 \)，它们的分母的最小公倍数是 \(5880\)，乘上它，

算出第 1 轮的迭代结果是：

\(a=9499, \quad b=-8784,  \quad c=5165 \)。

按网上文章说法，要迭代 9 次才能使 \(a, b, c \) 都变成正整数，这样就得到了最终答案。

天山草

接下来，第 2 轮迭代怎么做？网上的文章没有看懂。我试了几个方案，迭代都不成功。期待大侠出手解决！