正方形ABCD对角线交于O，∠BAO平分线交BO于P，自D作AP垂线交AC,AB于E,F，求证：BF=2OE

lihp2020 · 发表于 2021-12-29 18:33

证明了DF也是∠ADB的角平分线就出来很多相似三角形了相似三角形对应边之比相等就出来了

波斯猫猫 · 发表于 2021-12-29 19:40

思路：令正方形的边长为1，∠BDF=α，则由条件和正弦定理有，

BF/sinα=√2/sin(90°+22.5°)，即BF=√2sinα=/cos22.5°。

同样，有OE/sinα=(√2/2)sin∠OED=(√2/2)sin∠APO=(√2/2)sin(45°+22.5°)=√2/(2cos22.5°)，

即2OE=√2sinα=/cos22.5°。所以，BF=2OE。

风花飘飘 · 发表于 2021-12-29 22:39

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风花飘飘 · 发表于 2021-12-29 23:56

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kanyikan · 发表于 2021-12-30 13:59

王守恩 · 发表于 2021-12-30 14:20

本帖最后由王守恩于 2021-12-30 14:21 编辑

kanyikan 发表于 2021-12-30 13:59

\(梅氏定理：1=\frac{EA*FB*DO}{EO*FA*DB}\ \ ∵EA=FA\ \ \ DO: DB=1:2\ \ \ ∴EO:FB=1:2\)

王守恩 · 发表于 2021-12-30 15:08

本帖最后由王守恩于 2021-12-30 15:10 编辑

王守恩发表于 2021-12-30 14:20
\(梅氏定理：1=\frac{EA*FB*DO}{EO*FA*DB}\ \ ∵EA=FA\ \ \ DO: DB=1:2\ \ \ ∴EO:FB=1:2\)

\(\frac{BF}{OE}=\frac{BA-FA}{OA-EA}=\frac{\sin(\pi/2)-\sin(\pi/8)}{\sin(\pi/4)-\sin(\pi/8)}=k\) 化简可得k=2

luyuanhong · 发表于 2021-12-30 19:00

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