数学学科的显著特点（转载）

春风晚霞

数学学科的显著特点（转载）
       初中学习大师
       数学有三个显著的特点：高度抽象性、逻辑严密性、广泛应用性。
1.高度抽象性
        数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其他学科的抽象，数学是借助于抽象建立并发展起来的.数学的抽象撇开了对象的具体内容，而仅仅保留数量关系和空间形式.在数学家看来，五个石头、五座大山、五朵金花与五条毒蛇之间，并没有什么区别.数学家关心的只是“五”.又如几何中的“点”、“线”、“面”的概念，代数中的“集合”、“方程”、“函数”等概念都是抽象思维的产物.“点”被看作没有大小的东西，无长无宽无高；“线”被看作无限延长而无宽无高，“面”则被认为是可无限伸展的无高地面.实际上，理论上的“点”、“线”、“面”在现实中是不存在的，只有充分发挥自己的空间想象力才能真正理解。
       有的同学因数学的抽象而感觉数学枯燥、难学，其实“抽象”是数学的武器，是数学的优势.我们应该喜爱“抽象”,在数学的抽象过程中保留量的关系和空间形式，而舍弃其他一切，学会运用“抽象”的手段来解决问题。
2.逻辑严密性
        数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能得到承认逻辑严密也并非数学所独有.任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有严谨的一面.但数学对逻辑的要求不同于其他科学.因为数学的研究对象是具有高度抽象性的数量关系和空间形式，是一种形式化的思想材料.许多数学结果，很难找到具有直观意义的现实原型，往往是在理想情况下进行研究的.如一元二次方程求根公式的得出，两条直线位置关系的确定，无穷小量的得出等等.数学运算、数学推理、数学证明、数学理论的正确性等，不能像自然科学那样借助于可重复的实验来检验，而只能借助于严密的逻辑方法来实现数学是“说一不二的”.任何“投机取巧行为”在数学的“火眼金睛”面前都会现出“原形”
3.广泛应用性
       数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用.各门科学的“数学化”,是现代科学发展的一大趋势.数学应用的例证不胜枚举，比如太阳系九大行星之一的海王星的发现，电磁波的发现等等，这些都是历史上数学应用的光辉范例。
数学的这三个显著特点是互相联系的，数学的高度抽象性，决定了其逻辑的严密性，同时又保证了其广泛的应用性.这些特点也深刻地反映了：实践是数学的源泉，实践应用的需要正是学习数学的目的。
       数学是所有自然科学的基础.如果没有数学，那么物理学、化学、生物学、地理学、天文学、医学、计算机科学、通讯信息学、网络学、气象学、统计学、建筑学等基础学科都将成为无本之木、无源之水.数学学科的诞生和发展正是人类社会前进和发展的原动力！数学与人类的日常生活也是息息相关的！如果没有数学，也就没有商品交换、商品买卖、日常计算、房屋建造、土地丈量…可以这样说，没有数学，人类无法摆脱原始、野蛮和愚昧！

jzkyllcjl

春风晚霞是理科数学正教授，他的转载也是数学家的话。他的论述具有片面性，事实上： 恩格斯在《自然辩证法》228页恩格斯讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[3]”。
具体来讲，我有几个反对他的实例。第一，他讲了“有理数集合与自然数集合元素个数相等”的话就是违背“部分小于整体事实”的谬论；第二，他坚持的等式1/3=0.333……的右端就不是定数，而是无穷数列0.3，0.33，0.333，……的简写，这个数列的趋向性极限才是理想实数1/3.

elim

jzkyllcjl 非常全面地歪曲了马克思恩格斯的话。

jzkyllcjl

elim 发表于 2021-12-30 00:54
jzkyllcjl 非常全面地歪曲了马克思恩格斯的话。

elim说“测量不是数学”他拒绝回答他自己身高是多少的问题，也拒绝测量桌子长度的问题。
那么，如果没有直角三角形的边长的表达数字，哪有毕达哥拉斯定理？

elim

主贴所论数学的这些特点是被广为接受的常识。马克思恩格斯毫无疑问是有这些常识的。关于数学的哲学属性研究，参见帖子【数学哲学基本问题】

勾股定理无法建立在测不准的数量上。从 jzkyllcjl 楼上的胡扯知道，jzkyllcjl 狗屎吃到现在，智力发生质变，的确比不上畜生了。

elim

楼主【数学学科】这个提法非常严谨。数学学科而不是数学科学！
现代科学哲学将科学定义为关于物质世界的可证伪的系统知识和认知活动。

哲学不是科学的原因是它不是可证伪的，以及它不限于物质世界；
数学不是科学的原因是其对象是观念世界的结构而不是物质世界。

数学与应用的桥梁是数学模型，即把现实世界的某部分某过程抽象出来并用数学语言表述。以便用数学工具处理之。并将数学结果反演为所论模型原语境下的结果，以指导实践。

jzkyllcjl

elim 发表于 2021-12-30 02:43
楼主【数学学科】这个提法非常严谨。数学学科而不是数学科学！
现代科学哲学将科学定义为关于物质世界的可 ...

春风晚霞是理科数学正教授，他的主贴转载也是数学家的话。他的论述具有片面性，事实上： 恩格斯在《自然辩证法》228页恩格斯讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[3]”。
具体来讲，我有几个反对他的实例。第一，他讲了“有理数集合与自然数集合元素个数相等”的话就是违背“部分小于整体事实”的谬论；第二，他坚持的等式1/3=0.333……的右端就不是定数，而是无穷数列0.3，0.33，0.333，……的简写，这个数列的趋向性极限才是理想实数1/3.

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-12-30 16:34
春风晚霞是理科数学正教授，他的主贴转载也是数学家的话。他的论述具有片面性，事实上： 恩格斯在《自然 ...

Jzkyllcjl先生：我亳不隐讳地告诉你，我既然转发了初中学习大师的贴文，我当然也就力挺他的观点。数学的三大特点不仅是“数学家的话”，而且也是辩证唯物主义认识论对数学知识的概括和总结。你引用的【恩格斯在《自然辩证法》228页恩格斯讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”】这段话的正确解读应是这样的：(1)“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果。”①数学家的方法：也就是高度抽象的方法、严谨逻辑论证的方法。在这些方法中高度抽象是主要的。②“正确的结果”则是指高度抽象和严谨逻辑论证的方法是有效的、合理的；③“常常”则是指数学家方法的有效性和合理性不是某种巧合。所以，恩格斯对数学家的这种方法还是持肯定态度的。(2)“全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的。”这句话应作如下解读：①数学的研究对象是抽象的，这是因为“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的”。“为了对这些形式和关系能从它们纯粹状态来进行研究，必须使它们完全脱离自已的内容，把内容作为无关的东西放在一边，这样就得到没有长宽高的点，没有厚度和宽度的线，a和b与x和y，常数和变数。”【参见恩格斯《反杜林论》P39页】其实，用抽象的方法研究数学对象，早在公元前3000年人们都在使用了，那时侯人们在计数时就知道“五块石头、五座大山、五朵金花与五条毒蛇之间，并没有什么区别”(参见《数学史通论》)。列宁说“物质的抽象，自然规律的抽象，价值的抽象以及其它等等，一句话，一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”如果我们讨论数学问题，始终纠缠与现实世界的空间形式和数量关系无关的东西，如始终纠缠“点有大小、线有粗细、面有厚薄”或“一个贫农加个地主等于什么”这些与现实世界数形无关的东西，就叫把“抽象推到极端”，就会“变成谬妄或自己的反面。”从而使本能得到“正确结果”的研究无法进行。jzkyllcjl先生误以为恩格斯所说的“极端”是指无穷。这是与恩格斯在他的《反杜林论》和《自然辩证法》中大量的关于关于“数学上的无限是实际存在的”论述相违背的。②数学中的无限“只能从现实中来说明”，无疑是正确的。然而，值得注意的是数学中的无限只能用现实中的无限来说明。决不能用现实中的有限去说明数学中的无限。这是因为恩格斯认为“数学一谈到无限大和无限小，它就导入一个质的差异，甚至表现为不可克服的质的对立。”【参见恩格斯《自然辩证法》P190页】先生认为“他(春风晚霞)的论述具有片面性”，jzkyllcjl你能给出不违背数学社会共识的全面论述吗？
       对于先生反对我的实例。【第一，他讲了“有理数集合与自然数集合元素个数相等”的话就是违背“部分小于整体事实”的谬论】；其实“有理数集合与自然数集合元素个数相等”不是谬论，而是无限集的一个基本性质。无限集基本性质定理：“无限集必与它的一个真子集对等”。『证明』：设A是无限集，所以A≠空集，在A中任取一个元素\(a_1\)，因为A是无限集，所以A-{\(a_1\)}非空。这时我们再从集合A-\(a_1\)任取一元素\(a_2\)，同理A-{\(a_1,a_2\)}非空。如此继续下去，我们将从A中取出一列互不相同的元素：\(a_1\),\(a_2\)，\(a_3\),…，记余集B=A-{\(a_n\)|n=1，2，…}，在A中任取出一个真子集{\(a_2\)，\(a_3\)，\(a_4\),…}UB=C，作A与C之间的映射f:
\begin{cases}
f(a_i)=a_{i+1}，i=1，2…\\f(x)=x，x∈B
\end{cases}
显然，f是A到C的一一映射，所以无限集A与它的(无限)真子集C对等(通俗的说成A与C中的元素个数相等。)『证毕』
       根据这个定理很容易证得“有理数集合与自然数集合元素个数相等”、“完全平方数的个数与自然数的个数相等”(伽利略猜想)、甚至(-∞，+∞)中的实数与(0，+∞) 中的实数一样多(考虑双射f(x)=\(e^x\)）。  jzkyllcjl先生，你半个多世纪的奋斗都没走出“无穷就是没有穷尽，没有终了”、“无尽小数不是定数，也不是实数”的误区，当然是永远也认识不到“有理数集合与自然数集合元素个数相等”这样的真理的。另外请先生特别注意:恩格斯认为“整体大于部分”这个命题纯粹是同义反复，并且这个公理在无穷范围内不再成立【参见恩格斯《反杜林论》P40 页】。
       【第二，他坚持的等式1/3=0.333……的右端就不是定数，而是无穷数列0.3，0.33，0.333，……的简写，这个数列的趋向性极限才是理想实数1/3.】
       马克恩在他的《数学手稿》P19页倒数第三行写道：1/3 本身是它自己的极限。假如我把它表成级数，那么(这里马克思给岀了表成级数的方法—长除法图示)所以1/3=3/10+3/100+3/1000+3/10000+…在这种情况下，1/3成为它的无穷级数的极限。
       为正确理解马克思的这段话，我们先从语文的度角给这段话划分成分。1/3本身是它自己的极限.这是一句完整的话。主语是“1/3”；谓语是系动词“是”；“极限”是宾语。“它自己的”是修饰宾语“极限”的定语。这句话用数学语言叙述即为“1/3的极限就是它的本身(即1/3)”。注意：马克思时代极限理论尚待进一步完善，马克思所说的极限应是“极端、最大限度”之意（这一点从《数学手稿》、《反杜林论》、《自然变证法》均未提及欧拉、威尔斯特拉斯等极限理论的创始人可得到证明）。很明显把这个“极限”解读成“趋向但不等于”，必然造成1/3≠1/3语法病句和逻辑予盾。
       “假如我把它表成级数，那么(这里马克思给岀了表成级数的方法—长除法图示)所以1/3=3/10+3/100+3/1000+3/10000+… 在这种情况下，1/3成为它的无穷级数的极限。”这个假设复句讲了以下几层意思：①马克思给出了把1/3化为无穷级数的方法(即《数学手稿》P19页的图示的长除法)；②给出了级数等式1/3=3/10+3/100+3/1000+3/10000+… ③1/3成为它的无穷级数的极限。不难看出句中的它是指代的1/3。由②1/3=3/10+3/100+3/1000+3/10000+… 经等量代换即得1/3=0.3(即3/10)+0.03(即3/100)+0.003(即3/1000)+0.0003(即3/10000)+…=0.3333…，即1/3=0.333…。因为“初等数学，即常数数学，是在形式逻辑的范围内运作的”【参见恩格斯《反杜林论》P143页】和“如果两个数量等于笫三个数量那么它们彼此相等”(即等量公理)“是逻辑可以担保其正确性的”【参见恩格斯《反杜林论》P40页】，所以辩证唯物主义认识论仍然肯定由马克思的1/3=3/10+3/100+3/1000+3/10000+… 到1/3=0.3333…的推导(或证明)是正确的。
       至于你的【1/3=0.333…的右端就不是定数，而是无穷数列0.3，0.33，0.333，……的简写，这个数列的趋向性极限才是理想实数1/3.】则是你的臆意，并非马克思的本意。确切的讲马克思、恩格斯连欧拉、康托尔、戴德金、威尔斯特拉斯他们都从未提及，又如何知道你的那个“趋向性极限”呢？
       jzkyllcjl先生，很遗憾地告诉你，你对无穷的认识至今还停留在感性认识阶段，你的“写得到底、算得到底”只是迴避了无穷。毛泽东同志说“无论何人要认识什么事物，除了同那个事物接触，即生活于（实践于）那个事物的环境中，是没有法子解决的。”“你要知道梨子的滋味，你就得变革梨子，亲口吃一吃。”【参见毛泽东《实践论》】当然，你要变革梨子，决不能因为你参与了吃青梅的实践，叫宣布梨子的味道是酸的。jzkyllcjl先生，《实践论》也主张逻辑推理。毛泽东同志认为“要完全地反映整个的事物，反映事物的本质，反映事物的内部规律性，就必须经过思考作用，将丰富的感觉材料加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作工夫，造成概念和理论的系统，就必须从感性认识跃进到理性认识。”【参见毛泽东《实践论》】所以，先生永远停留在感性认知阶段的诸如“点有大小”、“无尽小数写不到底、算不刭底，所以无尽小数不是定数，不是实数”…等东西永远是错误的。

elim

太多的事实表明，jzkyllcjl 不是商榷的对象而是批判吊打的对象．楼上这么长的文字jzkyllcjl 是不会读的．就是读也读不懂．

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2021-12-30 09:01
Jzkyllcjl先生：我亳不隐讳地告诉你，我既然转发了初中学习大师的贴文，我当然也就力挺他的观点。数学 ...

恩格斯在《自然辩证法》228页恩格斯讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”是需要尊重的、使用的，但不能歪曲。从事实来讲，第一，有理数集合是自然数集合的扩大，从0，1两个自然顺得到-三个有理数 -1，0，1，从0，1，2三个自然顺得到七个有理数 -2，-1，-1/2,0，1/3,1，3 ;从0，1,2,3,四个自然顺 得到-……，因此有理数集合比自然数集合多，你尊重的 ““有理数集合与自然数集合元素个数相等”的话就是违背“部分小于整体事实”的谬论”是不联系实施的形式主义的错误，第二。你尊重的等式 1/3=0,333……，马克思没有说过，马客诉在《数学手稿》19页谈了1被3除后，说的是1/3成为它的无穷级数的极限。后来的康托尔、戴德金、威尔斯特拉斯的实数理论都是违背“无尽无有终了事实实数理论。无尽小数 具有写不到底的性质呢是事实，违背事实就是形式逻辑的错误。”