解方程组：ab+c+d=p ，bc+d+a=q ，cd+a+b=s ，da+b+c=t ，求 a,b,c,d

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解方程组：ab+c+d=p   bc+d+a=q   cd+a+b=s  da+b+c=t ，求a、b、c、d

天山草

1. In[71]:= Clear["Global`*"];
   
2. Simplify[Solve[{a  b + c + d == p, b  c + d + a == q,
   
3.    c  d + a + b == s, d  a + b + c == t}, {a, b, c, d}]]
   
4. 
   
5. Out[72]= {{a->(2 q^3-t^2 q^2-3 p q^2-6 s q^2+p t q^2+3 t q^2+p^2 q+6 s^2 q+s t^2 q+t^2 q-p^2 s q+6 p s q-2 p t q-6 s t q-2 s^3+p^2 s^2-3 p s^2-s t^2-p^2 s-p s^2 t+3 s^2 t+2 p s t+p \[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t)))-t \[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t))))/(2 (q-s) (-p^2+2 t p+q^2+s^2-t^2-2 q s)),b->-(1/(2 (q-s) (p^2-2 q p+q^2-(s-t)^2)))(-t q^3+q^3-2 p q^2+p s q^2-4 s q^2+p t q^2+s t q^2+3 t q^2+p^2 q-p s^2 q+5 s^2 q+2 t^2 q-p^2 s q+5 p s q-3 p t q-p s t q-7 s t q+\[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t))) q-2 s^3+p^2 s^2-3 p s^2-2 s t^2-p^2 s+4 s^2 t+3 p s t-p \[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t)))),c->(1/(2 (p^2-2 t p-q^2-s^2+t^2+2 q s)))(2 p^2-s^2 p-3 q p+q s p+3 s p-4 t p+q^2+s^2+2 t^2-2 q s-q^2 t+3 q t+q s t-3 s t-\[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t)))),d->(1/(2 (q-s) (p^2-2 q p+q^2-(s-t)^2)))(2 q^3+(s (t-5)-(t-3) t) q^2+(-(t-4) s^2+(t-5) t s+t^2) q+2 p^2 (q-s)-p (q-s) (4 q+(s-3) (s-t))-(s-t) (s^2-t s+\[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t)))))},{a->(2 q^3-t^2 q^2-3 p q^2-6 s q^2+p t q^2+3 t q^2+p^2 q+6 s^2 q+s t^2 q+t^2 q-p^2 s q+6 p s q-2 p t q-6 s t q-2 s^3+p^2 s^2-3 p s^2-s t^2-p^2 s-p s^2 t+3 s^2 t+2 p s t-p \[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t)))+t \[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t))))/(2 (q-s) (-p^2+2 t p+q^2+s^2-t^2-2 q s)),b->-(1/(2 (q-s) (p^2-2 q p+q^2-(s-t)^2)))(-t q^3+q^3-2 p q^2+p s q^2-4 s q^2+p t q^2+s t q^2+3 t q^2+p^2 q-p s^2 q+5 s^2 q+2 t^2 q-p^2 s q+5 p s q-3 p t q-p s t q-7 s t q-\[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t))) q-2 s^3+p^2 s^2-3 p s^2-2 s t^2-p^2 s+4 s^2 t+3 p s t+p \[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t)))),c->(1/(2 (p^2-2 t p-q^2-s^2+t^2+2 q s)))(2 p^2-s^2 p-3 q p+q s p+3 s p-4 t p+q^2+s^2+2 t^2-2 q s-q^2 t+3 q t+q s t-3 s t+\[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t)))),d->(1/(2 (q-s) (p^2-2 q p+q^2-(s-t)^2)))(2 q^3+(s (t-5)-(t-3) t) q^2+(-(t-4) s^2+(t-5) t s+t^2) q+2 p^2 (q-s)-p (q-s) (4 q+(s-3) (s-t))+(s-t) (-s^2+t s+\[Sqrt](-(q-s)^2 (4 p^3-(s^2-2 s+4 q+4 t+9) p^2+2 (-2 q^2+(t s+s+t+9) q+s^2+s (t-9)+(9-2 t) t) p+4 q^3+(s-t)^2 (4 s+4 t-9)-q^2 (t^2-2 t+4 s+9)+2 q (-2 s^2+(t+9) s+(t-9) t)))))}}

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上述内容的图片显示如下：

天山草

如果已知 \(p, q, s ,t\) 的具体数值， 可求数字解为：（以下是三个例子）



可以看出，某些情况下只有一组实数解。某些情况下是两组实数解。某些情况下是两组复数解。

似乎不会出现实数解和复数解并存的情况。

天山草

\( p, q, s, t \)是复数时上面那些解的公式也是正确的。