令 \(H_n=1+\cdots+\frac{1}{n},\) 则 \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{nH_n^2}< 2\)

elim

题：令 \({\small H_n}=1+\cdots+\frac{1}{n},\) 试证 \(\small\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{nH_n^2}< 2\)

cgl_74

这题我找到一个解法。普通的思路，计算稍复杂点。
如果题主知道解法，不妨抽空发来分享下。我就不费力整理我的解答了。
如果题主不知道解法，我可以整理下我的，供讨论交流。

yichang

\[
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{nH_n^2}
<1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n H_n H_{n-1}}
=1+\sum_{n=2}^\infty\left(\frac{1}{H_{n-1}}-\frac{1}{H_n}\right)
<2
\]

elim

楼上yichang的证明很漂亮！(后一个 < 应为 =)

cgl_74

感谢3楼分享解答，的确解答很简洁，特别是第二步的转换很关键！