矩阵A列满秩必然导致A的奇异值均为非零？

wufaxian

请看下图蓝线部分，看似有道理。但是反过来一想，又有问题，如果考虑\(AA^{ T} \)是一个mxm的实对称矩阵，那么列满秩mxn的矩阵A的秩r=n。显然不能推出mxm的矩阵\(AA^{ T} \)也是满秩矩阵。如果\(AA^{ T} \)不满秩，那么\(AA^{ T} \)=U\(\Sigma^2U^{T }\),那么\(Σ^{ 2}\)中就一定有\(AA^{ T} \)的0特征值。这些特征值开平方以后是不是A的0奇异值呢？

这就引出一个问题，什么是奇异值？
我看《线性代数及其应用》上说是\(A^{T}A\)特征值的平方根是A的奇异值。如果是这样定义，上面的疑问自然就解决了！可是为什么只能这样定义呢？为什么不能定义成\(AA^{ T} \)特征值的平方根呢？

我看《线性代数导论》上的定义比较模糊。\(Av_1=\sigma_1u_{1 }\),其中\(\sigma\)就是矩阵A的奇异值。如果是这样定义。那么第一段的问题依然存在