一元五次方程通解以及推论思考

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以上图片是本人一元五次方程通解的求解过程，因为本人今年只有14岁，所以有错请指出。我对一元五次方程没有通解的结论进行了思考，发现一个特殊一元五次方程\(x^5\)-5k\(x^4\)-10\(x^3\)+10k\(x^2\)+5x-k=0，按照阿贝尔等人的说法无解，但却可以用tan五倍角公式求出根式解，那是不是说明他们的说法可能是错误的？