求正整数 m,n，使 n^2+2mn+3m^2+2，2n^2+3mn+m^2+2，3n^2+mn+2m^2+1 最大公约数 d＞1

ywantonio

设m, n 为正整数，记 d 为\(A=n^2+2mn+3m^2+2\)，\(B=2n^2+3mn+m^2+2\)，\(C=3n^2+mn+2m^2+1\)

三数的最大公因数(HCF)，若 d>1，求 d = ?


利用 电脑试到 d 只有 7.  有没有数学方法能算出来 或者 有方向找到答案, 谢谢

lihp2020

前提知识点：
利用辗转相除 gcd（a,b）=gdb(b,a-b)(a>0，b>0，a>b)  可以得到这些衍生
不要求>0  可以计 gcd（a,b）= gcd（a,-b）   gcd（a,0）=|a|
则就有 gdb(a,b)=gdb(na,na+mb) 其中要求(gdb(n.m)=1)

gcd（a,b） 表示两数最大公约数  
三数最大公约数 其实就是 gcd(a,b,c)=gcd（a,gcd(b,c)）
如果gcd（a,b,c）!=1  ，gcd（a,b）=p(是个质数 )那么 gcd(a,b,c)=p
----下面开始做题----

a= n*n+2*m*n+3*m*m+2;
b= 2*n*n+3*m*n+m*m+2;
c= 3*n*n+m*n+2*m*m+1;
  k= b-a=n*n+m*n-2*m*m;
s=c-b=n*n-2*m*n+m*m-1;
k2=a-k=m*n+5*m*m+2;
s2=a-s;=5m*n+4*m*m+3;
  k3= k2*5-s2;=21*m*m+7

k3一定能被7 整除 且7是一个质数
所以上述任意一个变量都能没7整除 所以 d=7
  

ywantonio

非常感谢!

ywantonio

lihp2020 发表于 2022-2-8 14:44
前提知识点：
利用辗转相除 gcd（a,b）=gdb(b,a-b)(a>0，b>0，a>b)  可以得到这些衍生
不要求>0  可以计 ...

请问  gcd（a,b）=gdb(b,a-b) ,  gdb 什么意思? 谢谢

ywantonio

ywantonio 发表于 2022-2-8 20:51
请问  gcd（a,b）=gdb(b,a-b) ,  gdb 什么意思? 谢谢

非常感谢您的详细解答!