ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，F 是 BC 上的点，并且 BF=3CF 。 求证：∠DAE=∠FAE

kanyikan

yeyucaiji

AE与AF皆可求，连EF，用余弦定理证

yeyucaiji

或者连EF直接相似

luyuanhong

王守恩

ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，F 是 BC 上的点，并且 BF=3CF 。 求证：∠DAE=∠FAE

\(记∠DAE=a,∠FAE=b,∠AFB=a+b\)
\(证1:\cos(a)=\frac{2}{\sqrt{5}},\cos(b)=\frac{25+20-5}{2*5*\sqrt{20}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\cos(a)\)
\(证2:\cos(a)=\frac{2}{\sqrt{5}},\sin(a)=\frac{1}{\sqrt{5}},\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)=\frac{3}{5}=\cos(a+b)\)
\(证3:\cos(a)=\frac{2}{\sqrt{5}},\sin(a)=\frac{1}{\sqrt{5}},\sin(2a)=2\cos(a)\sin(a)=\frac{4}{5}=\sin(a+b)\)
\(证4:\tan(a)=\frac{1}{2},\tan(2a)=\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}=\frac{4}{3}=\tan(a+b)\)
\(......\)

denglongshan

\(Arg\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{AE}}=Arg\frac{4-2i}{3-4i}=Arg\left( 4-2i\right)\left( 3+4i\right)=Arg\left( 20+10i\right){,}Arg\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{AE}}=Arg\frac{1}{4-2i}=Arg\left( 4+2i\right)\)