两个大小一致的硬币，一个不动，另一个绕着固定的硬币滚动一周，滚动的硬币转了几圈？

guangyao

今天预初的儿子问我一道数学题。问两个大小一致的硬币，一个不动，另一个绕着固定的硬币滚动一周，问滚动的硬币转了几圈。
先公布老师的答案： 2圈。我们还专门去问了很多的高中生，都说答案正确。
理由是，滚动的1元硬币如果参考点是1字的底部朝向固定硬币的圆心，而1字顶部朝外，当绕着固定硬币滚动半圈后，可以观察到1字的顶部朝向回到了起始时的角度和方向，因此从视觉观察到的滚动硬币的偏转角来看，滚动硬币已经自转了1圈。

但是，我和儿子还是有不同的观点：
首先，什么是自转1圈，我们认为耗尽周长才算是自转了一圈。 如果说我们把固定硬币和滚动硬币的周长展开成直线，那么他们是长度相等的2条线段，自转一圈应该是指滚动硬币跟固定硬币在开始滚动前的起始接触点为参考点，当滚动到这个参考点再次接触固定硬币的时候才算是滚动硬币自转了1圈，而由于2个硬币周长相等，所以滚动硬币绕着固定硬币滚动一圈耗尽周长后，应该是会回到固定硬币的起始接触点。

那么为什么看上去滚动硬币的角度在绕固定硬币半圈后看上去已经自转了1圈呢？
我们做了这样的实验： 当运动轨迹为直线的时候，滚动硬币和固定硬币的圆心轨迹是2条平行线，而当这两条平行线折弯成圆圈后，空间发生了扭曲，导致了滚动硬币1字的朝向随着轨迹的变化而偏转了很大的角度，而实际上滚动硬币在绕着固定硬币滚动半圈后，才消耗了周长的一半，所以说不应该判断为自转了一圈的。

那么，为什么老师说这道题的答案就是滚动硬币绕着固定硬币滚动一圈后，其自身是自转了2圈呢？ 实在是没想明白。

时空伴随者

滚动90°，自转180°！一目了然。

小fisher

“我们认为耗尽周长才算是自转了一圈。”这个对自转的定义有待商榷。
比如举个极端的例子：这个硬币绕它边缘上的一点转一周，这个点没有长度，消耗的周长是0，请观察硬币有没有发生旋转。
例子2：把两个硬币的接触点涂上胶水，然后一起绕中间硬币的圆心旋转，这时也没有消耗周长，请观察外侧硬币有没有发生旋转。这其实就是个缩小版的地月系统，我们通常说月球自转和公转周期一样，可见通常对自转的定义也不是以消耗周长为参照的。
例子3 ：当硬币沿空心的圆内侧旋转时，周长耗尽时，它的实际旋转角度是不足360度的，特别是两圆周长非常接近时，硬币几乎不旋转。