勾股数组通解公式

朱明君

设x=m+n，其中xmn均为正整数，
则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2

实例x=m+n，代入公式得
                        (勾，股，弦)
        2=1+1，  (3， 4，  5)

        3=1+2，   (5，12，13)
        3=2+1，   (8，6，10)     

        4=1+3，   (7，24，25)
        4=2+2，   (12，16，20)
        4=3+1，   (15，8，17)   
        
        5=1+4，   (9，40，41)
        5=2+3，   (16，30，34)
        5=3+2，   (21，20，29)
        5=4+1，   (24，10，26)

        6=1+5，   (11，60，61)
        6=2+4，   (20，48，52)   
        6=3+3，   (27，36，45)   
        6=4+2，   (32，24，40)
        6=5+1，   (35，12，37)
      
        7=1+6，   (13，84，85)     
        7=2+5，   (24，70，74)
        7=3+4，   (33，56，65)
        7=4+3，   (40，42，58)
        7=5+2，   (45，28，53)
        7=6+1，   (48，14，50)

        ……。

费尔马1

老师您好:
这个公式是在大约公元300年，由古希腊的丢番图大师给出的:
(x^2－n^2)^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2
其中x、n为正整数，x>n
(x^2－n^2)=（x－n）（x+n）
令m=x－n即为您的公式，您看看是不是啊？

费尔马1

如果这个公式是您自己发现的，您确实是神机妙算诸葛高啊！不愧为是一代英杰啊！

朱明君

费尔马1 发表于 2022-2-10 11:41
老师您好:
这个公式是在大约公元300年，由古希腊的丢番图大师给出的:
(x^2－n^2)^2^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^ ...

丢番图求勾股数公式用的是X=mn,
我用的是X=m+n,

以上两个公式都不是通解公式，


兔子数列中的勾股数

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,

证明：设x=m+n,兔子数列中的任意四个连续的兔子数:
第一个为a=m,第二个为b=n,第三个为c=x,第四个为d=x+n,           
则(ad)^2+(2bc)^2=(2bc+a^2)^2
则(ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2

费尔马1

朱老师的方法真漂亮！好！

费尔马1

学生我仿照朱老师的方法也可以得到无穷多个勾股数公式。
例如，据数列1，2^2，3^2……n^2，（n+1）^2……
得到勾股数公式，a=（n+1）^4－n^4
b=2n^2（n+1）^2
c=（n+1）^4+n^4
例如，据数列1，2^3，3^3……n^3，（n+1）^3……
得到勾股数公式，a=（n+1）^6－n^6
b=2n^3（n+1）^3
c=（n+1）^6+n^6
…………………………

费尔马1

这个公式是在大约公元300年，由古希腊的丢番图大师给出的:
(a^2－b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2
其中a、b为正整数，a>b
在兔子数列中，任意截取相邻的三项，有:
m，n，m+n，
令a=m+n，b=n代入上面的勾股公式即得到朱老师的两个公式。
规律，不单是兔子数列具有这个性质，其它的数列也具有同样的性质。
例，数列，（此数列的规则是本项乘以3再加左边一项得前项）
m，n，3n+m，3*（3n+m）+n，3*[3*（3n+m）+n]+3n+m，……
令a=3n+m，b=n代入上面的勾股公式得，
A=（3n+m）^2－n^2
B=2n（3n+m）
C=（3n+m）^2+n^2
则A^2+B^2=C^2
注，m、n代表此数列的任意两个相邻项。

朱明君

设正整数z=x+y,且x<y<z, x,y,均为正整数，
则[z(y-x)]^2+ (2xy)^2 =(x^2+y^2)^2。

费尔马1

这个公式是在大约公元300年，由古希腊的丢番图大师给出的:
(a^2－b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2
其中a、b为正整数，a>b
a^2－b^2=（a+b）（a－b）
令z=a+b即可得到朱老师的公式。

朱明君

设(x/2)^2=mn，其中x为大于等于4的偶数，
                             mn均为正整数，且m>n，
则(m-n)^2+x^2=(m+n)^2

实例(x/2)^2=mn，代入公式得
                                 (勾，股，弦)
        (4/2)^2=4ⅹ1， (3，4，5)

        (6/2)^2=9ⅹ1， (8，6，10)

        (8/2)^2=16ⅹ1，(15，8，17)
        (8/2)^2=8ⅹ2，  (6，8，10)

        (10/2)^2=25ⅹ1，(24，10，26)

        (12/2)^2=36ⅹ1，(35，12，37)     
        (12/2)^2=18ⅹ2，(16，12，20)
        (12/2)^2=12ⅹ3，(9，12，15)
        (12/2)^2=9ⅹ4，  (5，12，13)
   
        (14/2)^2=49ⅹ1，(48，14，50)
      
         ……。