【转载】老汉数数 揭开梅森素数的奥妙

yangchuanju

【转载】 老汉数数  揭开梅森素数的奥妙
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素数分布规律的探索（一）
(2011-05-27 21:08:55)
提要：2，3除外，所有的素数都分布在6倍自然数的两侧。真素数的位置没有明确的规律，但假素数的位置非常有规律，如果能首先确定假素数，那真素数的分布则一目了然了。
关键词：素数，左素数，右素数，假素数，跳步法。
   近三百年来世界数学界就在探索素数的奥秘，其中有中国数学家华罗庚的名著《堆垒素数论》。二十世纪七十年代中国年青的数学家陈景润在解决世界数学难题之一的《歌德巴赫猜想》取得了1+2的最好成果，离摘取数学皇冠上的明珠仅一步之远。1978年2月17日人民日报编者按语说：我们怀着激动的心情，向读者推荐徐迟同志的报告文学《歌德巴赫猜想》。这篇作品原载于1978年第一期《人民文学》。它以生动的文笔，如实地反映了我国著名数学家陈景润不畏艰苦勇攀高峰的动人事迹，受到广大读者的欢迎。当时全国掀起了素数热，青少年都踊跃参加，我这个非数学专业的年青人也投入其中。我也知道要从纯数学的方法证明《猜想》我连看也看不懂。我是搞建筑的，对图表比较熟悉，所以想能否用一种图表将素数的分布规律表达出来。从那时算起到现在已过去三十余年了，我断断续续地探索素数分布的规律、孪生素数对与《猜想》的关系等，1988年找到了素数分布规律图，在分布图的基础上，1989年2月20日能用BASIC程序、286计算机打印出《验证哥德巴赫猜想》，1989年3月14日打印出《寻找孪生素数》。因为素数和符合《猜想》的素数对有无限多个，用有限的事实去验证不能满足素数证明的要求，于是就停了下来。

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素数分布规律的探索（二）
   (2011-05-27 21:10:28)
   退休不工作后我又把它拣了起来，认为素数的真实分布图是有用处的。
   因为本文是以最直观的图表方式表达素数的分布规律，设有难懂的理论和计算，为此我就用读者最关心的一些问题直接开展对话。
问题一：
   素数能有分布规律吗？现在已找到几条规律？
规律之一：
  2，3除外， 所有素数都分布在6倍自然数的两侧。即6n-1和6n+1，n为从1开始的自然数。6n-1称为左素数，6n+1是右素数。但是,左素数和右素数中不仅有真素数,还包含有大量的假素数。
规律之二：
  真素数的位置没有明确的规律，但假素数的位置非常有规律。如果能首先确定假素数，那真素数的分布则一目了然了。见素数分布规律图。
问题二：假素数的含义是什么？假素数的位置怎么样来确定？
发现之一：假素数的实质是合数，在素数分布规律图上可以看出，先将较小真素数从小到大自正中向两侧对称地横向排开，每个素数占据一个格子，很象每个纵列队伍的排头兵、举旗手，队伍后面的成员就是那个真素数相关的假素数。
发现之二：对照分布图看左素数一侧已知小素数中的素数5，它就是首批出现的排头兵或称举旗手之一，它可以用跳步法确定它的家庭成员即与素数5相关的假素数，因为它们都是包含素因子为5的合数，即都能被5整除，对应的就是左素数系列中的35，65，95 125 等，它们相隔之差均为30，即5*6=30，即真素数5从序号1出发向下跳了五格。又因为左素数序列其数值为6n-1，即每跳一格数值增加6，故连跳五格数值就增加了30，以此类推。5跳完之后轮到素数7跳步了，7属于右素数，左素数序列里没有它的位置，故它要从序号1的右边开始起跳，先向上绕过n=0再向下n=1、2、3……连跳七格跳到序号6的左边停下，正好与素数5连跳五格停下的位置相同。该处假素数的值为35也能被7整除，由此可见用跳步法确定假素数的发现是很可靠的，并当场可以验证。同样素数7继续向下跳七格停一次对应的都是假素数，都能被7整除，这时我们在假素数上涂黑，将它从真素数行列里除名。以此类推，将已知小素数从规定的起点向下都跳过一遍，确定的假素数都被涂黑，留下的即是不能被任何自然数整除的真素数了。
   这里要特别说明的是跳步法的第一步非常重要，跳对了以后均对，跳错了以后均错。再举两个例子，左素数列的11要跳步了，它的起跳点是左素数6n-1序列中的序号2左侧素数11的位置，向后连跳11步到达序号13（可用序号2+11=13），左素数的值为77，能被11整除，故77是假素数，可以自己核对避免操作中的错误。再往后序号13+11=24，左素数值为143能被11整除，也是假素数即除名。下个起跳的小素数为13，它不在左素数序列，与7相似也要从右素数序号2出发向上经过序号1和0然后回头向下到序号11停下。计算可用13-2=11来表达，右素数的跳步与左素数类似，请按分布表多次试跳达到熟练成度就不会出错了。
    分布图上看到的在某个假素数的位置上同时有几个小素数跳步的落点停在同一个序号上，.这是正常现象，说明某个假素数有几个素因子。
跳步法的发现看来既正确又很有趣，给我们寻找素数分布的规律增加很大的信心。
问题三： 为什么选择6n±1这种双列排队方法，它真的能包含全部素数一个也不漏掉吗？何以证明之。
   证明方法：已知自然数序列为1、2、3、4……。如果将其排成一列来找素数和假素数很不方便，我们又知道素数首先应是奇数，2的整倍数为偶数，首先应从自然数列中清除掉，数列成为奇数1，3，5，7，9 ……，我们又知道3的整倍数是合数，1不在6n+1范围，也可以提前清除掉。这样数列成为5、7、 11、13、  17、19、 23、25…….。这一数列正好符合6n±1的形式。因为在自然数中去掉2和3的整倍数，2和3又都是最小的二个真素数，从上文得知举旗手的后排都是假素数（合数），由此可以证明提前去掉2和3的所有合数不会伤及奇数数列中的任何一个真素数，所以可以大胆放心地说6n-1、6n+1数列中包含了全部真素数，保证一个都不漏掉。采用6n-1、6n+1数列还有一个好处可以缩短数列的长度为单列自然数长度的六分之一。
问题四： 跳步法是按压缩后的6倍自然数序列跳步，怎么会正好落在要找的假素数位置上呢？
   证明方法以素数5为例，自然数从1到30共有30个格子，5在6n-1的左素数序列上处于n=1的序号上，如以5为举旗手的假素数是以序号1为起步点向后跳五步落在序号6上，6n-1的假素数值为35，能被5整除确定假素数。35-5=30也是符合走30步的原则，由于目前采用的6n数列已经对自然数序列压缩了6倍，故现在只要跳5格就行了。
采用6n-1和6n+1平行的两条数列作图表和采用跳步法确定假素数的位置是本文素数分布规律的核心原理，也是技术上巧妙之处。比把跳步法用在排成单列的自然数序列上大有好处，希望读者用心体会。
问题五： 素数分布规律图是怎么样制作的？
   根据分布规律图的第一第二条规律就可以用手工方法制作，或根据上述二条规律使用某种机算机语言编制不太复杂的程序,让计算机自动打印出来，图表所包含素数的区间，可以自由设定直到无穷大。
问题六： 怎么理解这张素数分布图
   读者可以根据自己的体会去理解，作者先讲一个形象的理解方案，这张图的重点在中间三排用代号、序号形成的长条形格子网，每一个网格可理解是一间房子，对应的素数和假素数就住在房子里面。这排房子很长很长，根据你的需要取其中的一段来研究其居民的情况。
以往的素数表可形象的看作为素数按其数值大小排成一长队，没有固定的房子，所以看起来没有规律性。现在的分布图将素数分成了二列纵队，一列是左素数即6n-1，一列为右素数即6n+1，其中间一列n是它们的门牌序号，真素数和假素数的值，就是它们的门牌号，这等于在建立图表的时候就给它们上好了户口，对号入住就行了。所以就显得有规律了。
   此分布图的最上面左右各横向排列了一排较小真素数，真素数就是它们家族的举旗手，排头兵，也是它们家族的代表人物，即数值最小的素数，其它都是该素数的整倍数，则都是假素数。
通过数值最小的真素数向后跳步，该家族成员中的假素数不断被确认，初始真素数就不断地被发现。这些新的真素数将在向左，向右延伸的横排上树起自己的家族旗子，以家族代表的身份向后发展假素数队伍。于是又出现了一批初始真素数，由此循环就构成一张无限扩张的完整的素数分布规律图。
   看完本文之后，可能有人会想：图上假素数确实排例很有规律，为什么素数分布还是那么零乱？因为以数值最小的真素数向后等距离的跳步所确定的假素数都有共同的素因子（即该排头的素数之值），所以排列很整齐。新出现的素数就是没有被任何假素数碰到的房子的主人，它具有鲜明的特性，——除自身和1以外不能被任何自然数整除，在图上的特性是所有跳步落点都碰不到它。分散性就是素数的规律，是不可能用一个公式或一组函数方程将所有素数都联系起来的。因此，能用一种原理、一种方法确定所有素数在某种坐标上的位置就是反映了素数分布的真实情况，就是找到了素数分布的规律。至于对素数分布规律进一步研究和应用，应看作是另一个课题的内容。
   本文的素数分布原理图可以做得很长、很宽，这里仅取最初始的一部分，也可称作素数分布规律图。当否，请大家评议。
  我有一个素数兴趣小组，有老同志、新同志、还有子女参加。我们分工合作业余时间过得很开心。我们认为本文提供的素数分布规律是比较好的方案，能够全面，科学，正确的揭示素数分布的真实情况，为素数的应用和相关问题的解决打下坚实的基础。这也是我们为什么相隔近卅年后把它整理发表的原因。我们也非常想看到更多更好的素数分布规律方案，以及应用素数分布规律和解决数学难题的成果，因为这都是中国人的自豪。
附1：《素数表》与素数分布规律图的比较
附2：素数分布规律图

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附件无法转载，请查看《老汉素数》原稿。

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揭开梅森素数的奥秘
(2011-09-16 15:56:30)
摘要：2^n-1数列里包含了梅森素数2^p-1（p为素数）。为什么自然数n中只有n是素数时才可能找到梅森素数，否则一个也找不到。
关键词：自然数，素数，梅森数，梅森素数。
梅森数的形式非常简单，为2^p-1（p为素数），其更为初始的形式应该是2^n-1（n为自然数），这里就产生以下的问题。
1. 为什么在2^n-1的数列里只有梅森数2^p-1其中才包含有梅森素数，除此之外都是合数？
2. 为什么梅森数2^p-1中只有一部份才是梅生素数，其他也是合数？
3. 梅森数在研究素数分布规律中起到什么作用，与其他研究素数分布规律的方法相比有什么特点和贡献？
首先我们用手工方式做一张2^n和2^n-1数列里的数值分析表，从分析表上可以清楚地看出有以下规律性。
2^n数列里2的n次方（n为自然数），n每增加1其数值就翻一倍，如4、8、16、32、64......其尾数为4、8、6、2、4、8、6、2.....循环。
再看2^n-1数列对应的尾数为3、7、5、1、3、7、5、1.....四个数字重复循环。
再看素因子项，尾数为5的一看就知道能被5整除，尾数是3的也发现都能被3整除。这样，梅生数只可能在尾数为1和7的情况下产生梅森素数（素数3除外，它是最小的一个奇素数）。

2n和2n-1数列分析表
p        n        2^n        2^n-1  ——————        素因子
√        2        4        3  ——————        素数
√        3        8        7  ——————        素数
—        4        16        15  ——————        3 . 5
√        5        32        31  ——————        素数
—        6        64        63  ——————        3
√        7        128        127  ——————        素数
—        8        256        255  ——————        5
—        9        512        511           /7=73        7
—        10        1024        1023          /3=341        3
？        11        2048        2047          /23=89        23
—        12        4096        4095  ——————        5
√        13        8192        8191  ——————        素数
—        14        16384        16383         /3=5461        3
—        15        32768        32767         /7=4681        7
—        16        65536        65535  ——————        5
√        17        131072        131071  ——————        素数
—        18        262144        262143        /3=87381        3
√        19        524288        524287  ——————        素数
—        20        1048576        1048575  ——————        5
—        21        2097152        2097151       /7=299593        7
—        22        4194304        4194303       /3=1398101        3
？        23        8388608        8388607       /47=178481        47
—        24        16777216        16777215  ————————        5 . 3
—        25        33554432        33554431      /31=1082401        31
—        26        67108864        67108863      /3=22369621        3
—        27        134217728        134217727     /7=19173961        7
—        28        268435456        268435455  ————————        5
？        29        536870912        536810911     /233=2304167        233
—        30        1073741824        1073741823    /3=357913941        3
√        31        2147483648        2147483647  ————————        素数
—        32        4294967296        4294967295  ————————        5
—        33        8589934592        8589934591    /7=1227133513        7

从自然数列中列出属于较小梅森数（2^p-1）中的素数p有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31共11个，但属于梅森素数中的P只有8个，其中p=11，23，29分别有素因子23，47，233，故是合数。
一、现在可以揭开梅生数中的第一个奥秘——为什么2^n-1数列里只有n是素数时才可能对应产生素数，除此之外都是合数。
原因之一、2^n-1数列中的尾数只有3、7、5、1四种情况，从分析表中看到，凡自然数n为偶数时2^n-1对应的尾数是3和5，均有3和5的素因子，故为合数。凡是自然数n为奇数时2^n-1对应的尾数是1和7，则有可能是找不到素因子的素数。
原因之二、2^n数列可直接转变成8N数列8、16、32、64、128....8N-1数列为（N为自然数），7、15、31、63、127....我们又知道所有素数都在6N-1和6N+1数列之中（N为自然数），不在6N-1和6N+1数列之中的数则肯定不是素数。
凡是n为奇数时，2^n-1的尾数是1和7，对应的2^n-1除以6其结果必然有一部份尾数为1/6或7/6,即等于0.1667或1.1667，就相当于6N+1数列。8N-1和6N+1数列是可以部分重叠的，如8-1=6+1=7、32-1=30+1=31等。
原因一和原因二相结合就证明了只有n是素数时2^p-1才可能对应有梅森数，除此之外都是合数，并且没有例外，谁能找到一个实例，那真是一大发现！愿共同探讨。
二 、揭开梅森数的第二个奥秘，为什么2^p-1中只有一部份是梅森素数，其他也是合数，只能称他梅森数。
从数列分析表中可以直接地看到，P=11时、2^11-1=2047可以被23整除故2047是假素数，即合数。p=23时2^23-1=8388607可以被47整除，也是合数。P=29时，2^29-1=536870911可以被233整除也是合数。其中23、47、233都是已知较小素数，即素因子。
上面三个合数，被6除后尾数均为0.1667，属于6N+1数列。被8除后尾数均为0.875，属于8N-1数列，即属于6N+1和8N-1数列的重叠部分。由于所有素数都分布在6N-1和6N+1两条数列之中，但这两条数列除包含全部素数之外还包含大量的假素数，即合数。上述三个例子就是假素数，详细情况请看老汉数数《素数分布规律探索》一文。
三、梅森素数的特点与贡献
17世纪法国数学家梅森他提出了2^p-1的代数式，得到的素数称为梅森素数。同时代的另一位法国数学家叫费尔马，他发现Fn=2^2^n+1的代数式，将自然数依次放在n的位置上在0、1、2、3、4时，Fn分别的结果是3、5、7、17、257、65537，都是素数。
F5=2^2^5+1=2^32+1=4294967297
当时由于数值太大，计算工具很原始费尔马没有逐个验算，就直接猜测：对于一切自然数Fn都是素数，以为找到了一个很好的公式可以依次推算出更大的素数。在费尓马去世67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明F5=4294967297=641×6700417不是素数，而是合数。
更有不可思议的是F5以后的Fn值中，数学家再也没有找到哪一个Fn值是素数，全部都是合数。现在有计算机协助，数学家们取得Fn的最大值为n=1495.这可是个超大级天文数字，其位数多达10^10584位，尽管它非常之大，但也不是素数而是合数，真是费尓马的Fn=2^2^n+1之式，给费尓马开了个大玩笑。
与费尓马代数式相比梅森的代数式Mp=2^p-1要幸运得多，尽管它不能得到全部都是素数但已经确认的有40多个了。就在17世纪，梅森已验算出p=2、3、5、7、17、19时，代数式的值都是素数。后来，欧拉证明p=31时2^31-1值是素数，还剩下p=67、127、257三个梅森数由于太大没有人去验证。在梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287是一个合数。2008年，美国加州大学洛杉矶分校计算机专家埃德森•史密斯发现了第45个梅森素数，
“2^43112609-1”该素数有12978189位，它是目前已知的最大素数。
素数研究其中有二个重要的分支，一是找出某一数值段内全部素数用以编制素数表或研究素数的分布规律，二是不断寻找最大的素数，探索素数在超大值情况的分布，梅森提出的代数式Mp=2^p-1在这方面有杰出的贡献。
于汉颐
2011.09.15

yangchuanju

关于梅森素数是否有无穷多个的判定方法
(2011-09-23 08:40:06)

在网上读到了《梅森素数：千年不休的探索之旅》一文，知道在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《儿何原本》的欧儿里得证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2^p-1的形式，其中指数p也是素数。
   在网上又读到梅森数的《百科名片》，它将关于梅森数的概念、由来、位数计算、探索历程和意义的资料都编辑到一起，内容十分珍贵。千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它然有许多未解之谜，等待着人们去探索。文章最后说，有必要指出的是：素数有无穷多个，这一点早为欧儿里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题，而揭开这一未解之谜，正是科学家追求的目标。
对于这个“数学难题”，我想直爽地讲述自己的看法，供大家参考，并希望共同探讨。
一、所有素数都分布在6倍自然数的两侧，即6N-1和6N+1二条算术级数的数列里，我把6N-1（N为自然数）称为左素数，6N+1称为右素数，这两条数列里除了包含全部的真素数外，还包含了大量的假素数即合数。
其原理是：自然数列1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13...............先去掉2和3的整倍数，数列变成1、--5、7--11、13--17、19--23、25.....
   这个数列可以用6N±1未概括，“即6倍自然数的两侧”。事先去掉的都是数因子为2和3的整倍数，即合数，我称它为假素数，真素数则一个也没有去掉，都在6N±1数列里。
二、梅森数2^p-1（p为素数）是包含在2^n-1（n为自然数）数列里，2^1=2、2^2=4、2^3=8、2^4=16、2^5=32、2^6=64、2^7=128、2^8=256..........它的规律是n每增加1，2^n的值就翻一倍，其尾数是2、4、8、6、2、4、8、6.....四个数字循环。
2^n-1对应的数值是2^1-1=1、2^2-1=3、2^3-1=7、2^4-1=15、2^5-1=31、2^6-1=63、2^7-1=127、2^5-1=255........其尾数是1、3、7、5、1、3、7、5......四个数字循环。
更有趣的是n为偶数时2^n-1的数值都是合数，其尾数是3和5，正巧也是合数的素因子。
n是奇数时2^n-1的值有素数也有合数，其尾数为1和7，详细内容请看本人发表的上一篇文章《揭开梅森素数的奥秘》其中的2^n和2^n-1数列分析表。
p是素数属于奇数（2除外），当2p-1等于合数时称为梅森数，只有2^p-1等于素数时才称为梅森素数。
三、2^n-1的数值属于8N-1数列（n和N为自然数），其值为1、3、7、15、31、63、127、255........（其中1、3小于8-1，除外）。
2^p-1数列的值为2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127..........也属于8N-1数列，其中3除外，由于素数p不同于自然数，不是连续的，再有n和p都是2的指数，故结果不能象8N-1那样的算术级数，N每增加1,8N-1就增加8，而是跳跃地呈8的整倍数增长。
与梅森数相似的，也是同时代出现的法国数学家费马数形式为
Fn=2^2^n+1，n为自然数，其相应的值是，
F0=2^2^0+1=2^1+1=2+1=3
F1=2^2^1+1=2^2+1=4+1=5
F2=2^2^2+1=2^4+1=16+1=17
F3=2^2^3+1=2^8+1=256+1=257
F4=2^2^4+1=2^16+1=65536+1=65537
F5=2^2^5+1=2^32+1=4294967296+1=4294967297
费马数除3、5外，属于8N+1数列，由于是双重指数形式，其数值比梅森数跳跃得更快。
四、只有在8N-1与6N+1的数值相同时才能找到梅森素数或梅森数，因为8N-1数列也含有部分素数。6N±1数列则包含了全部素数，只有与6N+1数列重叠，即数值相等时，才能确定这个值是素数或假素数。
例如2^3-1=8-1=6+1=7
2^5-1=32-1=6*5+1=32-1=30+1=31
2^7-1=128-1=6*21+1=127=126+1=127
2^11-1=2048-1=6*341+1=2048-1=2046+1=2047
指数n=3、5、7、11都是素数相当于p，即2p-1的梅生数与6N+1的数列相重叠，即数值相等，其最终值7、31、127是素数，2047含有23和89两个素因子，23*89=2047是假素数，即合数。
同样原理，费马数中的素数是（8N+1）与（6N-1）的数值相同时才能找到。
F2=2^2^2+1=2^4+1=16+1=6*3-1=17
F3=2^2^3+1=2^8+1=256+1=6*43-1=257=258-1=257
F4=2^2^4=216+1=65536+1=8*8192+1=65537(8N+1)6*10923-1
=65538-1=65537(6N-1)   
17、257、65537均为素数。
五、6N±1数列适合寻找全部素数，请看本人第一篇文《素数分布规律的探索》，
梅森素数和费马素数适合跳跃式地寻找大素数。梅森素数在这方面做出了杰出的贡献，
6N±1是算术级数，自然数N值和素数值6N±1是同步增长仅差6倍，属于同一个数量级。随着自然数的增长，素数值也增长，只是素数与自然数的比例，开始时多，往后明显减少。合数的比例则相反，开始时少，往后明显增加，当自然数趋向无穷大时，出现素数的概率则趋向于零。
由于N的数值很大，一路上累计找到素数的数量也是很大，所以说古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个的道理是正确的。当代人设想，既然素数有无穷多个，那么就应该有一个素数数列的公式，为寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血，（参见“百度百科”素数分布）。在数学和计算机科学高度发达的今天为什么发现一个已知的最大的素数都如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成科学上的大事？！.............
写了这么多是为了对梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题做准备。现在试着来揭开这一未解之谜，因为这个题目是没有肯定，说是，说否都要拿出原理上和事实上的充分理由和根据才能判定。
我的理由之一，素数是包含在6N±1的算术级数之内，素数的值是与自然数的值在相同的数量级内同步增长，当N趋向于无穷大时，6N±1数列上的素数值也趋向于无穷大，6N±1数列除包含全部素数之外，还包含大量的假素数即合数。素数在N小的时候出现概率较大，素数在N大的时候出现概率变小，N为无穷大时出现的概率为零。但前后累加起来的总数量仍然是很大的。这样当N趋向无穷大时，素数的总数量和单个素数的最大值都会趋向无穷大。
理由之二、梅森素数的表达式为Mp=2^p-1,它是指数函数，随着p的增加Mp会呈p次方增加，（见本文表格），当梅森素数的个数为2位数时，梅森素数的值已达到一千万位了。可见随着自然数N的增加梅森素数的值完全能领先于N值趋向无穷大，而梅森素数的个数是无法达到无穷大，因为他们的数量级差距太大。
理由之三、梅森素数的形成必须要8N-1数列和6N+1数列的某个数值相同时才能产生梅森数或梅森素数，这样梅森素数的数量将远小于素数的数量。
理由之四、实际资料有：梅森素数的个数与梅森素数值的位数资料表，和“ 在某个自然数N以内素数与梅森素数的个数对比表。
在40000自然数以内，素数占自然数的比例为10.05%，应该属同一个数量级或仅相差一个数量级，可称作同步进行。梅森素数值为8191时，仅有5个梅森素数，占数值的0.061%。梅森素数的个数上升到10个时，其数值位数已由4位数上升到27位数。往后上升得更快。（见表），其所占比例已无法用百分数，万分数亿分数来表达了。只好空白起来由读者自己理解了。
理由之五、对于无穷大这个概念，数学书上有明确的定义，但在每个人的心中，也有自己的理解。因为它不是一个确定的数值，也不是象无限小那样以零为极限。在讨论素数个数的场合，我想还是以相对自然数N的个数的发展到什么程度为对比较合适。即自然数趋向到无穷大，素数能同步则称为无穷大，如不能同步，而且落后几个或几十个数量级则不能称无穷大。

有了以上五段关于素数和梅森素数原理的表达，以及五条理由和数据资料，我就对梅森素数是否有无穷多个的“数学难题”提出判定意见。
1、Mp=2^p-1是指数函数，Mp值的增长，大大超过P值的增长，即梅森素数的数值，会大大超过素数的值，提前接近无穷大，但梅森素数的数值不是本题目的内容。
2、证明梅森素数没有无穷多个，并不是难题。因为梅森素数的出现是有条件的。第一，Mp=2^p-1中梅森素数是以素数的数量为基础的，每代入一个素数p，只能产生一个梅生数，其中一部分才是梅森素数。第二，梅森数要在二个算术数列8N-1=6N+1数值相同的情况下才可能产生梅森数，比6N±1要少很多。第三、从梅森素数资料表中看到，它的数值增加得很快，数量且增加得非常之慢。
因为在自然数趋近无穷大时，梅森素数的数量不会同步接近无穷大，甚至差得很远。
3、梅森素数是否有无穷多个的命题，应该是在17世纪时代提出来的，因为那时数学家已证明了素数有无穷多个，而梅森素数只发现不足10个，故提出一个问号梅森素数是否有无穷多个？作为一个数学难题留给后人去解决。
现在看来大家都会判定梅森素数没有无穷多个。
            于汉颐   2011.9.21

梅森素数的个数与梅森素数值的位数资料表
梅森素数的个数号        P（素数）        梅森素数的值        梅森素数值的位数
5        13        8191        4
10        89        618970019...449562111        27
15        1279        104079321...168729087        386
20        4423        285542542...608580607        1332
25        21701        448679166...51188275        6533
30        132049        512740276...730061311        39751
35        1398269        814717564...45131571        420921
40        20996011        125976895...855682047        6320430
45        37156667        202254406...308220927        11185272
46        43112609        ——————————         12928189
这里是借用 梅森数“百科名片”的资料，足以说明问题。如第45个梅森素数的数值已高达11185272位，即一千一百多万位，10000五位为万，100000000九位为亿，一千多位我都不知道怎样称呼了。与我们常用的素数表里的位数相比真也算靠近无穷大了。
  
在某个自然数N以内素数与梅森素数的个数对比表
素数
自然数N        素数的个数        素数所占比例
1000        168        16.8%
10000        1229        12.29%
20000        2262        11.31%
30000        3245        10.81%
40000        4203        10.50%

梅森素数：
梅森素数的数值  梅森素数的位数  梅森素数的个数  梅森素数所占的比例
8191————————        4位数        5个        0.061%
618970019...44956211        27位数        10个         
104079321...168729087        386位数        15个         
512740276...730061311        39751位数        30个         
814717564...45131571        420921位数        35个         
125976895...855682047        6320430位数        40个         
202254406...308220927        1118527位数        45个         
316470269...69715251        12978189位数        46个         

请注意：最后一排数字不是在1297万个自然数中已找到46个梅森素数，而是第46号梅森素数的数值已达到1297万位了。这与上表N=40000就有4203个素数的差距有多大呀！

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-2-11 09:13
揭开梅森素数的奥秘
(2011-09-16 15:56:30)
摘要：2^n-1数列里包含了梅森素数2^p-1（p为素数）。为什么 ...

我们知道a∧n-1=（a-1）[a∧（n-1）+a∧（n-2）+a∧（n-3）+……+a∧2+a+1]

当a＞2，n≥2，a∧n-1一定是合数

因此梅森素数的底数只能是2

如果2的 指数是合数，如2∧nm-1 （其中n，m都是大于等于2的正整数）

则2∧nm-1 =2∧n∧m-1 =（2∧n-1）[2∧n∧（m-1）+2∧n∧（m-2）+2∧n∧（m-3）+……+2∧n∧2+2∧n+1]

可以明显看出2的 指数是合数，则2∧nm-1 一定是合数

所以梅森素数的底数只能是2，指数只能是素数如2∧p-1 才有可能是素数。

太阳

寻找2^p-1含有最大素数因子，十分难度