求实系数多项式 f(x) 使得多项式 (x+1)f(x-1)-(x-1)f(x) 只有常数项.

popo987654

请教思路

luyuanhong

题  求实系数多项式 f(x) 使得多项式 (x+1)f(x-1)-(x-1)f(x) 只有常数项。

解  当 f(x) = ax(x+1)+b 时，就有

    (x+1)f(x-1)-(x-1)f(x)

  = (x+1)[a(x-1)x+b]-(x-1)[ax(x+1)+b]

  = a(x-1)x(x+1)+b(x+1)-a(x-1)x(x+1)-b(x-1)

  = 2b 。  

cgl_74

一个解法，供讨论：
关键是利用n阶导数降维处理。

luyuanhong

楼上 cgl_74 的解答已收藏。下面是我的另一种不用求导的解法：