懂点儿数学，排队更省时

luyuanhong

懂点儿数学，排队更省时

数学经纬网 2022-01-27 22:00



要是刘姥姥来到 21 世纪，把每一座大都市都逛上几圈，她一定会觉得都市人最喜欢的娱乐就是排队。

早在 1946 年，匈牙利裔的作家乔治·米克斯（George Mikes）定居伦敦时，就在著作《如何当一个外星人》（How To Be An Alien）中写下了一段经典名言：

“到周末，英国人在公车站前排队到里士满公园（Richmond Park）玩。他们排队等游船，排队等喝茶，排队等吃冰淇淋。然后纯粹出于兴趣，再去排一些更奇怪的队伍。最后回到公车站前排队，花上他一辈子的时间……许多英国家庭喜欢晚上在家里排上好几个小时的队伍。当小孩子不玩了，准备排队去睡觉时，是父母们最难过的时刻了。”


每当有新的电子产品即将发售时，狂热的粉丝们就恨不得提前好几天带着装备来排队了。

这是旁观者兴灾乐祸的心态。对于身陷在队伍之中的人，或者商家来说，看到这么多等得不耐烦、随时要离开的客人，总归是一件不好的事。

各位有没有想过，如果不考虑先来先到的公平性原则，想减少所有客人等候时间总和的话，该先服务哪些客人吗？

答案是，先服务很快就可以搞定的客人

举例来说，大毛、二毛、小明三兄弟在柜台前排队，大毛买了全家的生活用品，得花 100 秒结账；二毛拿了一堆零食，需要花 50 秒结账；而小明只拿一罐奶茶，10 秒就结完账了。如果按照年龄从大到小的顺序结帐，大毛、二毛、小明各自会花上 100 秒、150 秒、160 秒的时间才能完成结帐，平均时间为 136.7 秒。但如果颠倒过来让结帐快的人先结帐，则小明、二毛、大毛仅需要 10 秒、60 秒、160 秒可以完成结帐，平均是 76.7 秒，缩短了 60 秒。

用符号表式可以看得更清楚，当三人结账时间各自为 t1、t2、t3 ，并按照这样的顺序结账时，每个人各自完成结账的时间是 t1、t1+ t2 、t1+ t2+ t3 ，平均为 t1 + 2t2/3 + t3/3 。随着队伍的顺序，越后面的人对结账时间影响越小，以 N 个人来说，第 n 位客人的排队时间是 tn ，平均时间即为：



因此，店家可以先处理那些不大需要花时间的客人，这样可以降低每人平均等待时间，提升顾客满意度；同样的道理，店家也可以反过来，先处理大客户的单，营造出门庭若市的热闹形象。所以如果你看到某间盐酥鸡摊位前排队的人特别多，说不定不一定是很好吃，只是老板数学很好，刻意延后那些只买豆干或甜不辣的点单。

然而，因为现实情况中需要考虑的地方太多，数学理论有时很难直接套用。在排队这个问题上，就算可以依照结账时间排队，商家也不愿意真的这么做。因为要是真按照这个标准，等于变相鼓励大家买少一点，才能快点结账。买了 10 万元的大客户永远得被排在最后面，等到铁卷门拉下来了才能结他的账。

但这则理论并没有失效，商人们依然成功地将它转化为了一件我们都知道的东西——快速结账柜台。借由快速结账柜台设定的结账门槛，将原本结账时间短到长的排序，用二分法取代，低于门槛的人优先处理。如此一来，就能够大幅缩减整体的排队时间。


现在很多超市中都设有快速结账柜台。方便那些购买的商品较少的顾客快速完成结账。

不过，快速结账柜台还是有些缺点。要是大家都买太多，就没人可以去快速结账柜台；或刚好相反，大家都买很少，就会有一群人塞在快速结账柜台，让“快速”两个字变得很讽刺。因此，可以将快速结账柜台的件数限制改成用 LED 屏幕动态显示，即根据现在的顾客人数，搭配顾客结账时间的统计分布图，实时估算出最佳的快速结账柜台件数限制。甚至，可以设定好几个快速结账的柜台，各自有不同的结账门槛。

这样的想法很有效，但也很复杂。要是真的实践了，光应付搞不清楚状况的顾客，恐怕就会花上更多时间。拥有好几个结账柜台的商家，因此又采用了一个更简单，且同样广为使用的策略：

将排在多个柜台前的多条队伍整合成一条队伍，借此大幅提升排队效率。


两种主要的排队方式，右边的方法排队效率更高。

继续以刚才的大毛、二毛、小明例子来说，假设他们还有一位表弟三毛，购买的商品结账时间为 20 秒。假设大毛、小明和二毛、三毛分别排两条队伍，四人结账所需的时间各自为大毛 100 秒、小明 110 秒、二毛 50 秒、三毛 70 秒，平均是 82.5 秒。但如果四人排成一条线，顺序是大毛、二毛、三毛、小明，则两个柜台各自结账的顺序分别是（大毛），（二毛，三毛，小明）。

大毛、二毛、三毛所需的时间不变，但小明却可以在三毛结账后，不用继续站在大毛后面空等，直接去另一个柜台结账，最终只需要 80 秒，省下了 20 秒（原本排两列的状况，很可能小明在等大毛时，旁边的柜台又有新的人排队，让小明无法换柜台）。换句话说，将多条排队的人潮合并化成一条，可以避免因为某一个结账时间特别久的人，而延长该队伍客人的整体结账时间。

因此，如今在银行、邮局、飞机登机柜台、政府机关，都采用了搭配电子叫号的单条排队制度。不仅让客人在等候时可以坐在沙发上看报纸，还能大幅缩短平均排队时间。

大卖场不这么做的原因，一部分是因为柜台拉得太长，要是最远的柜台空了，恐怕客人也不愿意推着推车走过去；另一个原因是，实际在现场时，客人会去观察每个柜台的排队人数，甚至根据队伍中每位客人篮子里的物品项目，估算每条队伍的排队时间，再选择一条自己认为最快的队伍。在这样智慧的选择下，多条排队的效果将会大幅提升。

文章来源：全景式数学