X^3+Y^4=Z^9有没有非零整数解？

yangchuanju

X^3+Y^4=Z^9有没有非零整数解？
2022-2-25 06:58鲁思顺先生在其博客《鲁思顺公式》28楼抛出一题：
求方程：X*3+Y*4=Z*9的部分整数解
【附注】星号“*”实际上是乘方号“^”，下同。

随后于2022-2-25 12:22 在30楼给出一个答案：
方程变指数，A*63+B*64=Z*63，
设A=B，
提取A*63（1+A-1），配底a*63-1=A，
则（a*63-1）*63.a*63=【（a*63-1）.a】*63，
所以，X=（a*63-1）*21
           Y=（a*63-1）*16，
            Z=【a（a*63-1）】*7.

yangchuanju

鲁思顺给出的各类不定方程所用数学符号非常不规范，下面先规范一下，再讨论其解法。
鲁思顺原不定方程是：
求方程：X^3+Y^4=Z^9的部分整数解
推荐解法是：
方程变指数，A^63+B^64=Z^63，
设A=B，
提取A^63*(1+A)，配底a^63-1=A，
则(a^63-1）^63*a^63=[(a^63-1)*a]^63，
所以，X=(a^63-1)^21，Y=(a^63-1)^16， Z=[a*(a^63-1)]^7。

式中乘方号均改为“^”，恢复星号“*”做乘号，小括号、中括号分别改为半角（英文）小括号、中括号。
检验：令a=0，X=(a^63-1)^21=(0^63-1)^21=-1，Y=(a^63-1)^16=(0^63-1)^16=1， Z=[a*(a^63-1)]^7=[0*(0^63-1)]^7=0，(-1)+1+0=0；
令a=1，X=(a^63-1)^21=(1^63-1)^21=0，Y=(a^63-1)^16=(1^63-1)^16=0， Z=[a*(a^63-1)]^7=[1*(1^63-1)]^7=0，0+0=0；不予讨论。

yangchuanju

令a是≥2的正整数，解方程并检验如下：
求方程：X^3+Y^4=Z^9的部分整数解
方程变指数，A^63+B^64=C^63，
设A=B，提取A^63×(1+A)，
配底，令A=a^63-1，则1+A=a^63，
(a^63-1)^63×a^63=[(a^63-1)×a ]^63，
请注意，这里A与a不是同一个参数量。
所以，A^63+B^64= A^63+A^64=(a^63-1)^63+(a^63-1)^64=[(a^63-1)^63] ×(1+a^63-1)
=[(a^63-1)^63] ×a^63=[(a^63-1) ×a] ^63；
令C=(a^63-1) ×a，则C^63=[(a^63-1) ×a] ^63；A^63+B^64=C^63。
X^3+Y^4=Z^9，A^63+B^64=C^63，X=A^21，Y=B^16，Z=C^7。

检验与计算：令a=2 有：
2^63= 9223372036854775808——19位,  2^64= 18446744073709551616——20位，
A=B=9223372036854775807——19位,  

A^63=6138366150813843547831901444172380216637208624334154537465059457147172210122572763587643247039445853667860103797322289002967956554571072722104532499945896629216092410288210561720470531177107894739780851551392146605029091458378486536163910123552184335535549670894457965707640252129199850247214300230895219197812248126883030684241086632173936912493166180083096566764964019403504307128671106089373809596976630464185096519055417263731388314281207957536178815859812651731234489003139711178483760151083614840607725144332963373891723015485117854848354473399963690432754429843628610265316096267740093092347107755311847711379671838386718761289105697070685622775998611610665226675759422828041455194271456113657547637333317887250643016768317504492942821029364412383043048644539079518999595555306681065889117390067778312719922915639913307132231360837207827750713235610838067058971894540707125538056552767484053065955898793387606001879637758907394816436555955844212993172556780526441690119705307526873412420750731469137497567802190944621686090612245105665717947754991436061834391297231332400215967017781327204728266370176046072409488344979182942111043618791846266122402578782267492629150456453924743433682943——1195位

B^64=56616434707392290100975175034257303510978163729568574908650330506552976431106809803725003462799712647372531603726028842255944895511092900578655772353746742988857348585820885162843120231501541626404357263619644774254826083211470642531468989086376662947230617990437104955412690772501777880404964333908289060976995589074038182083099865273174444615291037075222807533753212316027894525787734586499805409732669795791790562826981277199060209162726202193409956305334798287199750931882684235728635090413971125338192828141672362886446530797502771267754384781440842003375341943935203823693071552164381993841338305415088151196292507377188435255722677905072984570981283125556286364549186638514267782473283652804847988235134707815708711848941782157636566301764373781677562911744025865165597348179015584670553240252859441123801119112141033917661601906342120143966565752980416107030849381733351983100004090164613424227941965359260664524250631527370886145770023213769938875113012659648729355562478506514659581476913758047779022143257042015634739068380237664578805017463911321818861934591808629204617399570582458284966156328393625843587496455761917784931882017884560548629382855419366349245036211795713834174527757842176236584960001——1214位

yangchuanju

A^63+B^64=C^63=56616434707392290107113541185071147058810065173740955125287539130887130968571869260872175672922285410960174850765474695923804999308415189581623728908317815710961881085766781792059212641789752188124827794796752668994606934762862789136498080544755149483394528113989289290948240443396235846112604586037488911224209889304933401280912113400057475299532123707396744446246378496110991092552698605903309716861340901881164372423957907663245305681781619457141344619616006244735929747742496887459869579417110836516676588292755977727054255941835734641646107796925959858223696417335167514125825982008010604106654401682828244288639615132500282967102349743459703332270388822626971987325185250124933009149043075632889443429406163929366259486275100044887209318532691286170505732773390277548640396823554664189552835808166122189690236502208812230381524821982033451098797113817623934781562617344190050158975984705320549765998518126744717590206530320758492147649660972677333691549568615492942348735035287041101271596619065574652434564007773484772236636182428609200491108076156427484579882346800065266451790867813790685182123346174953048315762825937963857341370362863743490740426474211212615367438790577981326803678214296100980018642944——1214位

yangchuanju

进一步令X=A^21，Y=B^16，Z=C^7，有X^3+Y^4=A^63+B^64=C^63=Z^9，鲁氏方程A^63+B^64=C^63和X^3+Y^4=Z^9有非0整数特解。
XYZ分别是399、304、135位正整数；而X^3+Y^4和Z^9分别是1214位正整数。

X=A^21=183098279506203032168789355476616129227701451212554355766938952563345245783297636510308985267239408606165956851716308906297685608246690917441005316684468184102577050420336471073962903471144757769044913658269101316813674566375771683377034311564383355093157249063949445719451485862242850741528712319276236631447454005267278564191061748806472050047629768670339875158922123122588911895993429652624375807——399位

Y=B^16=2743062034396844336869514018464698837952741034352782431735406935422555235659604611574795800485902102589878063855381220980247414149652079643899138017548027873771831513201398226700753025465497615356604597023149336546797754176993249443973844794089529533475153606348844332504619566761300314793168852746240001——304位

Z=C^7=726838724295606889997695721138481825561157710302663913899133887725916877673664296714093705616957888678075315617981237096005681736056704——135位

yangchuanju

而鲁氏方程X^3+Y^4=Z^9按程氏（费尔马1）的解法是没有正整数解的，因为Z的指数9与X的指数3不互素。
解鲁思顺方程：X*3+Y*4=Z*9的部分整数解
X^3+Y^4=Z^9
令A=X^3， B=Y， C=Z^3
原方程变成A+B^4=C^3

C系数是1，A、B系数和是2，令方程的解是：
A=2^(E1*k+F1)
B=2^(E2*k+F2)
C=2^(E3*k+F3)
当N=2,5,8……时（A指*B指*N+1）/C指是整数，令N=2得：
A=2^(12*k+8)
B=2^(3*k+2)
C=2^(4*k+3)

A=2^(12*k+8)
B^4=(2^(3*k+2))^4=2^(12*k+8)
C^3=(2^(4*k+3))^3=2^(12*k+9)

A+B^4=2*2^(12*k+8)=2^(12*k+9)=C^3，A+B^4=C^3有解，
但该方程解A不是立方数，不存在整数X；更换乘数N为5或8都不行。

解鲁思顺方程：X*3+Y*4=Z*9的部分整数解
X^3+Y^4=Z^9
XYZ系数都是1，假定不定方程解的结构是
X=a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z=[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b、u为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。

设(a^u±b^u)/2的指数满足下二式：
3*s1=4*s2=9*s3-2，s2=3*s1/4，s3=(3*s1+2)/9
3*t1=4*t2-2=9*t3，t3=3*t1/9，t2=(3*t1+2)/4
不论s1、s2取何整数，s3都不是整数，第1式无正整数解；进而X^3+Y^4=Z^9无正整数解！

yangchuanju

为什么两人解法，一个有解，一个无解呢？
鲁思顺解法之中做了一个假定——令A=B，使原方程发生改变，可能是其主要原因。

lusishun

您完成了，
一，确定了有解，
二，鲁氏解法有解，程氏解法没有解。
我的感觉，可能是解法都还有缺陷。

lusishun

方程X*+Y*3=Z*5的解，
按鲁的公式一，得，设A*20+B*21=C*20
易得，X=（2*20-1）*10，
             Y=（2*20-1）*7，
             Z=【2（2*20-1）】*4

按鲁的公式二，得，设C*25-B*24=A*24.
Z=Y=（a*24+1），
易得，X=【a（a*24+1）】*12.
            Y=（a*24+1）*8
            Z=（a*24+1）*5.

lusishun

lusishun 发表于 2022-2-28 02:01
方程X*+Y*3=Z*5的解，
按鲁的公式一，得，设A*20+B*21=C*20
易得，X=（2*20-1）*10，

a=2时，为特解。


当然A*24+B*24，中，设A=B=2，
易得，X=2*12
            Y=2*8，
            Z=2*5