x取\(2^{ k}\) 和 \(-2^{k}\) 的概率为\(2^{ -k}\) , 期望值是多少?

wufaxian

x取\(2^{ k}\) 和 \(-2^{k}\) 的概率为\(2^{ -k}\)  , .k=2，3，…………，E(x)等于多少？

请看下图哪个求解过程正确？







别的论坛给出两种相反的意见。已经超出我的判断能力。请大佬解惑！

意见1：

下面的对，本质上是勒贝格积分。平时用黎曼积分是因为未出现无限-无限之类的不定型的时候，两种积分结果相等。

可能有人觉得第一种算法也不是黎曼积分啊。勒贝格本人曾经描述过两种积分的精髓：

一个人数口袋里的钞票，基本上有两种方法。其一是逐张取出，一张张加，10+50+10+5+100+100+……这样就是黎曼式的；另一种则是先把等值的钞票归到一组，看每组里有几张，然后乘面值，2*10+1*5+1*50+2*100……这就是勒贝格积分。

平均，积分，概率，面积，测度，期望，几个概念都是一体。柯尔莫哥洛夫定义概率测度的时候，用的是勒贝格积分（一般教科书是先定义测度再定义相应的积分，但也可以把测度当做对应积分构造出的泛函）。所以遵循基本定义按部就班的求期望（积分），都应该是先把等值的点归到一组。具体到这里，就是先把概率=0.5的点归到一起，构成一项。以此类推再求和。

意见2：
第二个是错误的，这个题目和积分没有关系，是离散型的。
由于数列求和不收敛，说明极限不存在

wufaxian

今天新补充了其他论坛两种截然相反的回复。请论坛大佬解惑。