a,b 是整数，且点 (a,b) 不在直线 L：3x+4y=1 上，求 (a,b) 到直线 L 距离的最小值

popo987654

请教思路

lihp2020

小学方法 你在格点图像上画出直线L  分别找出 a=0~12 再找b使f（a，b）最小 的b 求出f（a，b） 你在找 13~24 发现它呈现周期性
就知道了那个最小

高级的 由于ab是整数  应该有 什么中国同余定理之类的数论结论 或者公式 但是 有点忘了（上面的12  就是我安按照同余定理猜的周期 ）
如果明天还没有其他人解答  我再想想怎么计算

lihp2020

好像 没那么复杂 点(p,q)到直线(ax+by+c=0) 距离公式 abs(pa+bq+c)/sqrt(a^2+b^2)

带入 abs(3x+4y-1)/sqrt(a^2+b^2)  不能在直线上 (3x+4y-1) gcd（3，4）=1定存在 =1 x y整数解 所以最小距离是1/5

luyuanhong

小fisher

在直线L上取两个x,y坐标均为整数的点，例如A(-1,1)、B（3,-2)，则点P(x,y)到直线的距离=2S△PAB/AB，其中AB=5，可以证明平面内任意3个x,y坐标均为整数的点所构成的三角形面积是0.5的整数倍，当S△PAB=0.5时，点P到直线L的距离最小，此时距离为2*0.5/5=1/5