等价方程多样化

费尔马1

解下面的丢番图方程:
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5=4E^6+3F^7+2G^8
等价方程是，
4E^6+3F^7+2G^8－8A^2－7B^3－6C^4=5D^5
请老师们解。（有解）

yangchuanju

解下面的丢番图方程:
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5=4E^6+3F^7+2G^8
的等价方程
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5-4E^6-2G^8=3F^7
8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=5D^5

费尔马给出了第一个等价方程的解
8A^2+7B^3+6C^4+5D^5-4E^6-2G^8=3F^7
A=3^（420t+60）*20^（420k+360）
B=3^（280t+40）*20^（280k+240）
C=3^（210t+30）*20^（210k+180）
D=3^（168t+24）*20^（168k+144）
E=3^（140t+20）*20^（140k+120）
F=3^（120t+17）*20^（120k+103）
G=3^（105t+15）*20^（105k+90）
其中，t、k为自然数。
解的第一部分底数3来自F项的系数，第二部分底数20是另6项系数的代数和，
解的两部分指数的周期为7个指数的最小公倍数除以各自的指数，非周期部分复杂。

yangchuanju

费尔马第二个等价方程
8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=5D^5的解是：
A=5^(420t+168)*12^(420k+252)
B=5^(280t+112)*12^(280k+168)
C=5^(210t+84)*12^(210k+126)
D=5^(168t+67)*12^(168k+101)
E=5^(140t+56)*12^(140k+84)
F=5^(120t+48)*12^(120k+72)
G=5^(105t+42)*12^(105k+63)
检验：
A^2=5^(840t+336)*12^(840k+504)
B^3=5^(840t+336)*12^(840k+504)
C^4=5^(840t+336)*12^(840k+504)
D^5=5^(840t+335)*12^(840k+505)
E^6=5^(840t+336)*12^(840k+504)
F^7=5^(840t+336)*12^(840k+504)
G^8=5^(840t+336)*12^(840k+504)

8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=(8+7+6-4-3-2)*5^(840t+336)*12^(840k+504)=5^(840t+336)*12^(840k+505)
5D^5=5*5^(840t+335)*12^(840k+505)=5^(840t+336)*12^(840k+505)
8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=5D^5正确！
其中，t、k为自然数。
解的第一部分底数5来自D项的系数，第二部分底数12是另6项系数的代数和，
解的两部分指数的周期为7个指数的最小公倍数除以各自的指数，非周期部分复杂。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-3-2 16:01
费尔马第二个等价方程
8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=5D^5的解是：
A=5^(420t+168)*12^(420k+252)

感谢老师关注并解题。
老师解的第二个方程虽然解集公式对，但并非是原方程的等价方程:
4E^6+3F^7+2G^8－8A^2－7B^3－6C^4=5D^5
这个方程左边系数的代数和是负数，所以，不能采用鲁氏解法。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-3-2 20:43
感谢老师关注并解题。
老师解的第二个方程虽然解集公式对，但并非是原方程的等价方程:
4E^6+3F^7+2G^8 ...

贪功心切，将等价方程的D项的负号弄丢了！
不过不要紧，将解的第一部分的底数5都改为“-5”，
A=(-5)^(420t+168)*12^(420k+252)=5^(420t+168)*12^(420k+252)
B=(-5)^(280t+112)*12^(280k+168)=5^(280t+112)*12^(280k+168)
C=(-5)^(210t+84)*12^(210k+126)=5^(210t+84)*12^(210k+126)
D=(-5)^(168t+67)*12^(168k+101)=-5^(168t+67)*12^(168k+101) （第二个等号后是负号）
E=(-5)^(140t+56)*12^(140k+84)=5^(140t+56)*12^(140k+84)
F=(-5)^(120t+48)*12^(120k+72)=5^(120t+48)*12^(120k+72)
G=(-5)^(105t+42)*12^(105k+63)=+或-5^(105t+42)*12^(105k+63)（当t是0或偶数数时第二个等号后是正号；当t是奇数数时第二个等号后是负号）

A^2=5^(840t+336)*12^(840k+504)
B^3=5^(840t+336)*12^(840k+504)
C^4=5^(840t+336)*12^(840k+504)
D^5=-5^(840t+335)*12^(840k+505) （等号后是负号）
E^6=5^(840t+336)*12^(840k+504)
F^7=5^(840t+336)*12^(840k+504)
G^8=5^(840t+336)*12^(840k+504) （都是正号）

8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=(8+7+6-4-3-2)*5^(840t+336)*12^(840k+504)=5^(840t+336)*12^(840k+505)
-5D^5=（-5）*[-5^(840t+335)*12^(840k+505)]=5^(840t+336)*12^(840k+505)
8A^2+7B^3+6C^4-4E^6-3F^7-2G^8=-5D^5  依然正确！
其中，t、k为自然数。
解的第一部分底数-5来自D项的系数，第二部分底数12是另6项系数的代数和，
解的两部分指数的周期为7个指数的最小公倍数除以各自的指数，非周期部分复杂。

将错就错，将错解的第一部分的底数5换成-5就行了！
A=(-5)^(420t+168)*12^(420k+252)
B=(-5)^(280t+112)*12^(280k+168)
C=(-5)^(210t+84)*12^(210k+126)
D=(-5)^(168t+67)*12^(168k+101)
E=(-5)^(140t+56)*12^(140k+84)
F=(-5)^(120t+48)*12^(120k+72)
G=(-5)^(105t+42)*12^(105k+63)
其中，t、k为自然数。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-3-2 21:52
贪功心切，将等价方程的D项的负号弄丢了！
不过不要紧，将解的第一部分的底数5都改为“-5”，
A=(-5)^( ...

一个负数的奇次幂是一个负数，一个负数的偶次幂是一个正数，在这里(-5)^(168t+67)是一个负数，所以，D为负数，这样就不符合丢番图方程的解的规则了。（这个方法，学生我也考虑过，但没有成功），因此，此题还需采用整体换元法来解。
D=(-5)^(168t+67)*12^(168k+101)

yangchuanju

再弄几个小系数、小指数方程试一试。
2A^29+3B^23+5C^19=7D^17+13E^11
变变形：
（一）2A^29+3B^23+5C^19-7D^17=13E^11
（二）2A^29+3B^23+5C^19-13E^11=7D^17
（三）7D^17+13E^11-2A^29-3B^23=5C^19
（四）7D^17+13E^11-2A^29-5C^19=3B^23
（五）7D^17+13E^11-3B^23-5C^19=2A^29
各等价方程左端4项系数代数和：
2+3+5-7=3
2+3+5-13=-3
7+13-2-3=15
7+13-2-5=13
7+13-3-5=12

设（一）2A^29+3B^23+5C^19-7D^17=13E^11的解为：
A=13^(M1*t+N1)*3^(M1*k+L1)
B=13^(M2*t+N2)*3^(M2*k+L2)
C=13^(M3*t+N3)*3^(M3*k+L3)
D=13^(M4*t+N4)*3^(M4*k+L4)
E=13^(M5*t+N5)*3^(M5*k+L5)

解之得
A=13^(81719*t+14858)*3^(81719*k+66861)
B=13^(103037*t+18734)*3^(103037*k+84303)
C=13^(124729*t+22678)*3^(124729*k+102051)
D=13^(139403*t+25346)*3^(139403*k+114057)
E=13^(215441*t+39171)*3^(215441*k+176270)
检验
A^29=13^(2369851*t+430882)*3^(2369851*k+1938969)
B^23=13^(2369851*t+430882)*3^(2369851*k+1938969)
C^19=13^(2369851*t+430882)*3^(2369851*k+1938969)
D^17=13^(2369851*t+430882)*3^(2369851*k+1938969)
E^11=13^(2369851*t+430881)*3^(2369851*k+1938970)

2A29+3B23+5C19-7D17=(2+3+5-7)*13^(2369851*t+430882)*3^(2369851*k+1938969)=13^(2369851*t+430882)*3^(2369851*k+1938970)
13E^11=13*13^(2369851*t+430881)*3^(2369851*k+1938970)=13^(2369851*t+430882)*3^(2369851*k+1938970)
（一）2A^29+3B^23+5C^19-7D^17=13E^11正确！

yangchuanju

设（二）2A^29+3B^23+5C^19-13E^11=7D^17的解为：
A=7^(M1*t+N1)*(-3)^(M1*k+L1)
B=7^(M2*t+N2)*(-3)^(M2*k+L2)
C=7^(M3*t+N3)*(-3)^(M3*k+L3)
D=7^(M4*t+N4)*(-3)^(M4*k+L4)
E=7^(M5*t+N5)*(-3)^(M5*k+L5)

解之得
A=7^(81719*t+28842)*(-3)^(81719*k+52877)
B=7^(103037*t+36366)*(-3)^(103037*k+66671)
C=7^(124729*t+44022)*(-3)^(124729*k+80707)
D=7^(139403*t+49201)*(-3)^(139403*k+90202)
E=7^(215441*t+76038)*(-3)^(215441*k+139403)
检验
A^29=7^(2369851*t+836418)*(-3)^(2369851*k+1533433)
B^23=7^(2369851*t+836418)*(-3)^(2369851*k+1533433)
C^19=7^(2369851*t+836418)*(-3)^(2369851*k+1533433)
D^17=7^(2369851*t+836417)*(-3)^(2369851*k+1533434)
E^11=7^(2369851*t+836418)*(-3)^(2369851*k+1533433)

2A29+3B23+5C19-13E11=(2+3+5-13)*7^(2369851*t+836418)*(-3)^(2369851*k+1533433)=(-3)*7^(2369851*t+836418)*(-3)^(2369851*k+1533433)=7^(2369851*t+836418)*(-3)^(2369851*k+1533434)
7D17=7*7^(2369851*t+836417)*(-3)^(2369851*k+1533434)=7^(2369851*t+836418)*(-3)^(2369851*k+1533434)
（二）2A^29+3B^23+5C^19-13E^11=7D^17正确！

yangchuanju

等价方程（二）2A^29+3B^23+5C^19-13E^11=7D^17的解可表示为
A=7^(81719*t+28842)*(-3)^(81719*k+52877)
B=7^(103037*t+36366)*(-3)^(103037*k+66671)
C=7^(124729*t+44022)*(-3)^(124729*k+80707)
D=7^(139403*t+49201)*(-3)^(139403*k+90202)
E=7^(215441*t+76038)*(-3)^(215441*k+139403)
当k为奇数时，ABCE第二因子的指数为偶数，底数-3可改为+3；D第二因子的指数为奇数，底数-3改为+3后需在等号后加一个负号“-”；
当k为0或偶数时，ABCE第二因子的指数为奇数，底数-3改为+3后均需在等号后加一个负号；D第二因子的指数为偶数，底数-3改为+3后D式成立；
因此，等价方程（二）2A29+3B23+5C19-13E11=7D17的解也可表示为
A=7^(81719*t+28842)*3^(81719*k+52877)
B=7^(103037*t+36366)*3^(103037*k+66671)
C=7^(124729*t+44022)*3^(124729*k+80707)
D=-7^(139403*t+49201)*3^(139403*k+90202)  （等号后有一个负号）
E=7^(215441*t+76038)*3^(215441*k+139403)
费尔马认为：这样就不符合丢番图方程的解的规则了，不全是正整数解了；但它们还是有整数解的。

yangchuanju

设（三）7D^17+13E^11-2A^29-3B^23=5C^19的解为：
A=5^(M1*t+N1)*15^(M1*k+L1)
B=5^(M2*t+N2)*15^(M2*k+L2)
C=5^(M3*t+N3)*15^(M3*k+L3)
D=5^(M4*t+N4)*15^(M4*k+L4)
E=5^(M5*t+N5)*15^(M5*k+L5)

解之得
A=5^(81719*t+12903)*15^(81719*k+68816)
B=5^(103037*t+16269)*15^(103037*k+86768)
C=5^(124729*t+19694)*15^(124729*k+105035)
D=5^(139403*t+22011)*15^(139403*k+117392)
E=5^(215441*t+34017)*15^(215441*k+181424)
检验
A^29=5^(2369851*t+374187)*15^(2369851*k+1995664)
B^23=5^(2369851*t+374187)*15^(2369851*k+1995664)
C^19=5^(2369851*t+374186)*15^(2369851*k+1995665)
D^17=5^(2369851*t+374187)*15^(2369851*k+1995664)
E^11=5^(2369851*t+374187)*15^(2369851*k+1995664)

7D17+13E11-2A29-3B23=(7+13-2-3)*5^(2369851*t+374187)*15^(2369851*k+1995664)=5^(2369851*t+374187)*15^(2369851*k+1995665)
5C^19=5*5^(2369851*t+374186)*15^(2369851*k+1995665)=5^(2369851*t+374187)*15^(2369851*k+1995665)
（三）7D^17+13E^11-2A^29-3B^23=5C^19正确！