二项和函数不定方程的解

yangchuanju

二项和函数不定方程的解

费尔马1于2022年春节期间先后给出两博贴：
三项和函数不定方程终于成功了！
例:解函数不定方程:
A^（2n+1）+B^（2n+2）+C^（2n+4）=D^（2n+3）
其中一个答案是:
A=3^[（4n^3+18n^2+26n+12）k－（2n^2+6n+4）]
B=3^[（4n^3+16n^2+19n+6）k－（2n^2+5n+2）]
C=3^[（4n^3+12n^2+11n+3）k－（2n^2+3n+1）]
D=3^[（4n^3+14n^2+14n+4）k－（2n^2+4n+1）]
其中，n、k为正整数。

四项和函数不定方程终于成功了！
例:解函数不定方程:
A^（2n+1）+B^（2n+2）+C^（2n+4）+D^（2n+5）=E^（2n+3）
其中一个答案是:
A=4^[（8n^4+56n^3+142n^2+154n+60）k+（4n^4+26n^3+60n^2+58n+20）]
B=4^[（8n^4+52n^3+118n^2+107n+30）k+（4n^4+24n^3+49n^2+39n+10）]
C=4^[（8n^4+44n^3+82n^2+61n+15）k+（4n^4+20n^3+33n^2+22n+5）]
D=4^[（8n^4+40n^3+70n^2+50n+12）k+（4n^4+18n^3+28n^2+18n+4）]
E=4^[（8n^4+48n^3+98n^2+78n+20）k+（4n^4+22n^3+40n^2+28n+7）]
其中，n为正整数，k为自然数。

费尔马两通解如何得来，不知！

yangchuanju

二项和函数不定方程的解又是什么样的？
不同的二项和函数不定方程的解肯定是不同的，
只有确定了函数不定方程类型，才谈得上解的形式。

那就仿费尔马三项、四项函数不定方程的形式确定二项函数不定方程为：
A^(2n+1)+B^(2n+2)=C^(2n+3)
指数2n+3一般应与2n+1和2n+2是互素的。

设函数不定方程:
A^(2n+1)+B^(2n+2)=C^(2n+3)
的一个解是
A=2^[M1*k+N1]
B=2^[M2*k+N2]
C=2^[M3*k+N3]
经分析，解的周期部分M应等于
M1=B指*D指=(2n+2)*(2n+3)=4n^2+10n+6
M2=A指*D指=(2n+1)*(2n+3)=4n^2+8n+3
M3=A指*B指=(2n+1)*(2n+2)=4n^2+6n+2

解的非周期部分应是
N1=B指*m2
N2=A指*m2
N3=(A指*B指*m2+1)/C指
乘数m2是待定整数，
以下试求乘数m2：
N3=(4m2*n^2+6m2*n+2m2+1)/(2n+3)，
(4m2*n^2+6m2*n)/(2n+3)=2m2*n不余，
(2m2+1)/(2n+3)要是整数的话，m2需等于n+1。

令m2=n+1，(A指*B指*m2+1)/C指=[(4n^2+6n+2)*(n+1)+1]/(2n+3)=[4n^3+10n^2+8n+3]/(2n+3)=2n^2+2n+1
式中
[4n^3+10n^2+8n+3]/(2n+3)=(4n^2+2n+1)，
[4n^3+10n^2]/(2n+3)=2n^2余4n^2，
[4n^2+8n]/(2n+3)=2n余n，
[2n+3]/(2n+3)=1不余。

将m2=n+1带入N1、N2、N3得
N1=B指*m2=2n^2+4n+2
N2=A指*m2=2n^2+3n+1
N3=(A指*B指*m2+1)/C指=2n^2+2n+1

带入相关函数式便得不定方程
A^(2n+1)+B^(2n+2)=C^(2n+3)的一组通解：
A=2^[(4n^2+10n+6)*k+(2n^2+4n+2)]
B=2^[(4n^2+8n+3)*k+(2n^2+3n+1)]
C=2^[(4n^2+6n+2)*k+(2n^2+2n+1)]
其中，n为正整数，k为自然数。
检验
A^(2n+1)=2^[(8n^3+24n^2+22n+6)*k+(4n^3+10n^2+8n+2)]
B^(2n+2)=2^[(8n^3+24n^2+22n+6)*k+(4n^3+10n^2+8n+2)]
C^(2n+3)=2^[(8n^3+24n^2+22n+6)*k+(4n^3+10n^2+8n+3)]

A^(2n+1)+B^(2n+2)=(1+1)*2^[(8n^3+24n^2+22n+6)*k+(4n^3+10n^2+8n+2)]
=2^[(8n^3+24n^2+22n+6)*k+(4n^3+10n^2+8n+3)]=C^(2n+3)
通解正确！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-3-4 21:56
二项和函数不定方程的解又是什么样的？
不同的二项和函数不定方程的解肯定是不同的，
只有确定了函数不定 ...

学生我今晚解您的这个题，A^(2n+1)+B^(2n+2)=C^(2n+3)
所得到的答案与您的完全一样，可见，杨老师智慧非凡！谢谢老师的参与！

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-3-5 20:30
学生我今晚解您的这个题，A^(2n+1)+B^(2n+2)=C^(2n+3)
所得到的答案与您的完全一样，可见，杨老师智慧非 ...

费尔马解法的A、B、C、D的周期数应该是ABCD指数最小公倍数分别除以ABCD指数的商。
费尔马解法的D的非周期数应该是ABC指数最小公倍数乘以某个一次式"s*n+t"±1后除以D指数的最小整数商，
试除求得乘数"m=s*n+t"，A、B、C的非周期数应该是ABC指数最小公倍数分别乘以m的积；
当试除过程取加号时，解的非周期数取加号；试除过程取减号时，解的非周期数取减号。

程老师：
您是这样解的吗？
若用上述方法解，非周期数的次数应与周期数的次数相同，而您的次数小1，为什么？

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-3-6 07:33
费尔马解法的A、B、C、D的周期数应该是ABCD指数最小公倍数分别除以ABCD指数的商。
费尔马解法的D的非 ...

杨老师您好:
我们的答案形式是一样的，但解法不同。总之，我们的解题过程都是很复杂的！
您用的可能是待定系数法，分别列方程解之。
我采用同余法、辗转相除法，也要再列方程解之。不过，我的解题过程中，没有试除，只要按部就班，可直接解出各个未知数。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-3-6 07:33
费尔马解法的A、B、C、D的周期数应该是ABCD指数最小公倍数分别除以ABCD指数的商。
费尔马解法的D的非 ...

杨老师说:当试除过程取加号时，解的非周期数取加号；试除过程取减号时，解的非周期数取减号。
学生我说:非周期数的符号可以随时相互转换。
例如，
①359k－178可以化为359k+181；
②265k+123可以化为265k－142。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-3-6 09:09
杨老师您好:
我们的答案形式是一样的，但解法不同。总之，我们的解题过程都是很复杂的！
您用的可能是 ...

按杨的解法
A^（2n+1）+B^（2n+2）+C^（2n+4）=D^（2n+3）
的一个解是：
A=3^[(8n^3+36n^2+52n+24)k - (4n^3+20n^2+32n+16)]
B=3^[(8n^3+32n^2+38n+12)k - (4n^3+18n^2+24n+8)]
C=3^[(8n^3+24n^2+22n+6)k - (4n^3+14n^2+14n+4)]
D=3^[(8n^3+28n^2+28n+8)k - (4n^3+16n^2+18n+5)]
检验
A^(2n-1)=3^[(16n^4+80n^3+140n^2+100n+24)k - (8n^4+44n^3+84n^2+64n+16)]
B^(2n-2)=3^[(16n^4+80n^3+140n^2+100100+24)k - (8n^4+44n^3+84n^2+64n+16)]
C^(2n-4)=3^[(16n^4+80n^3+140n^2+100100+24)k - (8n^4+44n^3+84n^2+64n+16)]
D^(2n-3)=3^[(16n^4+80n^3+140n^2+100100+24)k - (8n^4+44n^3+84n^2+64n+15)]

A^(2n+10+B^(2n+2)+C^(2n+4)= 3*3^[(16n^4+80n^3+140n^2+100n+24)k - (8n^4+44n^3+84n^2+64n+16)]
= 3^[(16n^4+80n^3+140n^2+100n+24)k - (8n^4+44n^3+84n^2+64n+15)] = D^(2n-3)

周期部分各项系数均除以2，仍是方程的通解。

检验正确！（非最简解）


请程老师审查！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-3-6 17:47
按杨的解法
A^（2n+1）+B^（2n+2）+C^（2n+4）=D^（2n+3）
的一个解是：

杨老师的题正确！但学生我不知道您是采用什么方法解的?

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-3-6 19:28
杨老师的题正确！但学生我不知道您是采用什么方法解的?

前面所给方程解的周期部分各项系数均除以2，仍是方程的通解。
除以2后解的周期部分变得与程老师的解的周期部分相同了。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2022-3-6 19:28
杨老师的题正确！但学生我不知道您是采用什么方法解的?

按杨的解法
A^（2n+1）+B^（2n+2）+C^（2n+4）=D^（2n+3）
的一个解是：
A=3^[(8n^3+36n^2+52n+24)k - (4n^3+20n^2+32n+16)]
B=3^[(8n^3+32n^2+38n+12)k - (4n^3+18n^2+24n+8)]
C=3^[(8n^3+24n^2+22n+6)k - (4n^3+14n^2+14n+4)]
D=3^[(8n^3+28n^2+28n+8)k - (4n^3+16n^2+18n+5)]
或者（另一个解是）：
A=3^[(8n^3+36n^2+52n+24)k + (4n^3+16n^2+20n+8)]
B=3^[(8n^3+32n^2+38n+12)k + (4n^3+14n^2+14n+4)]
C=3^[(8n^3+24n^2+22n+6)k + (4n^3+10n^2+8n+2)]
D=3^[(8n^3+28n^2+28n+8)k + (4n^3+12n^2+10n+3)]
其中两解的非周期部分各幂次系数绝对值之和等于周期部分各幂次系数。
（第2个解经检验也是正确的）